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Unidad 4 espacios vectoriales
En matemáticas, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), con 8 propiedades fundamentales.
4.1-Definición de espacio vectorialUn espacio vectorial sobre un cuerpo (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto no vacío, dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado:

operación interna tal que:
1) tenga la propiedad conmutativa, es decir

2) tenga la propiedad asociativa, es decir

3) tenga elemento neutro , es decir

4) tenga elemento opuesto, es decir

y laoperación producto por un escalar:

operación externa tal que:
5) tenga la propiedad asociativa:

6) sea elemento neutro del producto:

7) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores:

8) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de escalares:

Véase también: Espacio euclídeo.
Véase también: Vector.
Véase también: Representación gráfica devectores.
Observaciones
La denominación de las dos operaciones no condiciona la definición de espacio vectorial por lo que es habitual encontrar traducciones de obras en las que se utiliza multiplicación para el producto y adición para la suma, usando las distinciones propias de la aritmética.
Para demostrar que un conjunto es un espacio vectorial:
* Lo es si sus dos operaciones, porejemplo y admiten una redefinición del tipo y cumpliendo las 8 condiciones exigidas.
* Si supiésemos que es un grupo conmutativo o abeliano respecto la suma ya tendríamos probados los apartados 1, 2, 3 y 4.
* Si supiésemos que el producto es una acción por la izquierda de tendríamos probados los apartados 5 y 6.
* Si no se dice lo contrario:
.
Propiedades
Unicidad del vector neutro de lapropiedad 3:
supongamos que el neutro no es único, es decir, sean y dos vectores neutros, entonces:

Unicidad del vector opuesto de la propiedad 4:
supongamos que el opuesto no es único, es decir, sean y dos vectores opuestos de , entonces, como el neutro es único:

Unicidad del elemento en el cuerpo :
supongamos que 1 no es único, es decir, sean y dos unidades, entonces:

Unicidad delelemento inverso en el cuerpo :
supongamos que el inverso de a, no es único, es decir, sean y dos opuestos de , entonces, como el neutro es único:

Producto de un escalar por el vector neutro:

Producto del escalar 0 por un vector:

Si
* Si es cierto.
* Si entonces:

4.2-Definición de subespacio vectorial
Sea un espacio vectorial sobre y no vacío, es un subespacio vectorial de si:Consecuencias
hereda las operaciones de como aplicaciones bien definidas, es decir que no escapan de , y como consecuencia tenemos que es un espacio vectorial sobre .
Con cualquier subconjunto de elementos seleccionados en los espacios vectoriales anteriores, no vacío, se pueden generar subespacios vectoriales, para ello seria útil introducir nuevos conceptos que facilitarán el trabajo sobreestos nuevos espacios vectoriales.
Resulta dos internos
Para detallar el comportamiento interno de todos los espacios vectoriales de modo general es necesario exponer una serie de herramientas cronológicamente vinculadas entre ellas, con las cuales es posible construir resultados válidos en cualquier estructura que sea espacio vectorial.
4.3- Combinación lineal, independencia lineal.

Cadavector u es combinación lineal de forma única
Dado un espacio vectorial , diremos que un vector u es combinación lineal de los vectores de si existen escalares tales que

Notaremos como el conjunto resultante de todas las combinaciones lineales de los vectores de .
Dado un espacio vectorial y un conjunto de vectores, el conjunto es el subespacio vectorial más pequeño contenido en y que...