sistemas fisicos

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

Sistemas Físicos

INGENIERÍA DE CONTROL.

1

M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ
M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.
.

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

Modelos de sistemas
Para analizar los sistemas de control se necesitan modelos matemáticos. Estos modelos
sonecuaciones que representan la dinámica del sistema. La dinámica de los sistemas se describe
en términos de ecuaciones diferenciales. Dichas ecuaciones diferenciales se obtienen a partir de
leyes físicas que gobiernan un sistema determinado.

Sistemas eléctricos
Las leyes fundamentales que gobiernan los circuitos eléctricos son las leyes de Kirchhoff.
Ley de nodos, la suma algebraica detodas las corrientes que entran y salen de un nodo es cero.
Ley de voltajes, en cualquier instante determinado la suma algebraica de los voltajes alrededor de
cualquier malla es cero.
Un circuito está formado por inductancias L (henry), resistencias R (ohm) y capacitancias C
(farad).
La caída de tensión en una inductancias es proporcional a la variación de corriente el = L

di
dt

La caídade tensión en una resistencia es proporcional a la corriente e r = R i
La caída de tensión en un capacitor es proporcional a la cantidad de corriente que pasa a través
de el ec =

∫

1
idt .
C

Ejemplo 1

Ecuación de la malla
ei = e r + eo

ecuaciones de cada uno de los elementos.
e r = Ri , eo =

∫

1
i dt
C

Transformando en Laplace
Ei (s ) = E R (s ) + E 0 (s ),

E R =RI (s ),

E 0 (s ) =

1
I (s )
sC

Sustituyendo
E i ( s ) = RI ( s ) +

1
I ( s)
sC

agrupando y despejando I (s )
I ( s) =

sC
Ei ( s)
( RCs + 1)

como
Eo ( s) =

ei = variable de entrada
e0 = variable de salida
INGENIERÍA DE CONTROL.

1
I ( s)
sC

Eo ( s)
1
=
E i ( s ) ( RCs + 1)
2

M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ
M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.
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ei = variable de entrada
eR = variable de salida
ei = variable de entrada
i = variable de salida

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E R ( s)
RCs
=
Ei ( s ) ( RCs + 1)
I (s)
Cs
=
Ei ( s ) ( RCs + 1)

Ejemplo 2

Ecuación de la malla
ei = e l + e r + eo

ecuaciones de cada uno de los elementos
el = L

∫

di
1
i dt
, e r = Ri , ec=
C
dt

Transformando en Laplace
E i (s ) = E L (s ) + E R (s ) + E 0 (s )

E L (s ) = LsI (s ), E R (s ) = RI (s ),

E c (s ) =

1
I (s )
sC

sustituyendo
1
I ( s)
sC
agrupando y despejando I (s )
sC
I (s) =
Ei ( s)
LCs 2 + RCs + 1
E i ( s ) = LsI ( s ) + RI ( s ) +

ei = variable de entrada
i = variable de salida
I ( s)
sC
=
E i ( s ) LCs 2 + RCs + 1

Como
1
I( s)
sC
ei = variable de entrada
Eo ( s) =

e0 = variable de salida
Eo ( s )
1
=
E i ( s ) LCs 2 + RCs + 1

INGENIERÍA DE CONTROL.

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M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ
M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.
.

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Ejemplo 3

Ecuaciones de las mallas
ei = e r1 + e c1
e c1 = e r 2 + e o

ecuaciones de cadauno de los elementos
e r1 = R1i1 , e r 2 = R2 i 2 , ec1 =

eo =

1
C2

∫i

2

∫ (i

1
C1

1

− i 2 )dt

dt

Transformando en Laplace
Ei (s ) = E R1 (s ) + EC1 (s )

EC1 (s ) = E R 2 (s ) + E 0 (s )
E R1 (s ) = R1 I 1 ,
E 0 (s ) =

E R 2 (s ) = R2 I 2 ,

EC1 (s ) =

1
(I1 (s ) − I 2 (s ))
sC1

1
I 2 (s )
sC 2

sustituyendo
1
(I 1 ( s ) − I 2 ( s ) ) = R 2I 2 ( s ) + E o ( s )
sC1

Despejando I1 (s ) y sustituyendo I 2 (s )
I 2 ( s ) = sC 2 E o ( s )
I 1 ( s ) = C 2 sE o ( s ) + C1 R2 C 2 s 2 E o ( s ) + C1 sE o ( s )

Como
Ei ( s ) = E R1 ( s ) + E R 2 ( s ) + E o ( s )
E i ( s ) = R1 I 1 ( s ) + R2 I 2 ( s ) + E o ( s )

Sustituyendo I1 ( s), I 2 ( s) en esta última ec.
E i ( s ) = R1C 2 sE o ( s ) + R1C1 R2 C 2 s 2 E o ( s ) +...