Sistemas Lineales y No Lineales

Sistemas lineales y no lineales
Se distingue entre sistemas dinámicos lineales y sistemas dinámicos no lineales. En los sistemas lineales, el lado derecho de la ecuación es una expresión que depende en forma lineal de x, tal como:

Si se conocen dos soluciones para un sistema lineal, la suma de ellas es también una solución; esto se conoce como principio de superposición. En general, lassoluciones provenientes de un espacio vectorial permiten el uso del álgebra lineal y simplifican significativamente el análisis. Para sistemas lineales continuos, el método de la transformada de Laplace también puede ser usado para transformar la ecuación diferencial en una ecuación algebraica; así mismo que para los sistemas lineales discretos, el método de la transformada Z también puede ser usadopara transformar la ecuación diferencial en una ecuación algebraica.
Los sistemas no lineales son mucho más difíciles de analizar y a menudo exhiben un fenómeno conocido como caos, con comportamientos totalmente impredecibles; ver también no linealidad.
Un sistema lineal es un sistema que obedece las propiedades de escalado (homogeneidad) y de superposición (aditiva), mientras que un sistemano-lineal es cualquier sistema que no obedece al menos una de estas propiedades.
Para demostrar que un sistema obedece la propiedad de escalado se debe mostrar que:

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Figura 1: Un diagrama de bloque demostrando la propiedad de escalado de linealidad Figura 1 (sysclass1.png) Para demostrar que un sistema obedece la propiedad de superposición de linealidad se debe mostrar que:(2)
Figura 2: Un diagrama de bloque demostrando la propiedad de superposición de linealidad
Es posible verificar la linealidad de un sistema en un paso sencillo. Para hace esto, simplemente combinamos los dos primero pasos para obtener

Importancia del estudio de sistemas no lineales:
Las ecuaciones no lineales son de interés en física y matemáticas debido a que la mayoría delos problemas físicos son implícitamente no lineales en su naturaleza. Ejemplos físicos de sistemas lineales son relativamente raros. Las ecuaciones no lineales son difíciles de resolver y dan origen a interesantes fenómenos como la teoría del caos. Una ecuación lineal puede ser descrita usando un operador lineal, L. Una ecuación lineal en algún valor desconocido de u tiene la forma

Unaecuación no lineal es una ecuación de la forma:

Para algún valor desconocido de u.
Para poder resolver cualquier ecuación se necesita decidir en qué espacio matemático se encuentra la solución u. Podría ser que u es un número real, un vector o, tal vez, una función con algunas propiedades.
Las soluciones de ecuaciones lineales pueden ser generalmente descritas como una superposición de otrassoluciones de la misma ecuación. Esto hace que las ecuaciones lineales sean fáciles de resolver.
Las ecuaciones no lineales son mucho más complejas, y mucho más difíciles de entender por la falta de soluciones simples superpuestas. Para las ecuaciones no lineales las soluciones generalmente no forman un espacio vectorial y, en general, no pueden ser superpuestas para producir nuevas soluciones. Estohace el resolver las ecuaciones mucho más difícil que en sistemas lineales.
MATLAB (abreviatura de MATrix LABoratory, "laboratorio de matrices") es un software matemático que ofrece un entorno de desarrollo integrado (IDE) con un lenguaje de programación propio (lenguaje M). Está disponible para las plataformas Unix, Windows y Apple Mac OS X.
Entre sus prestaciones básicas se hallan: lamanipulación de matrices, la representación de datos y funciones, la implementación de algoritmos, la creación de interfaces de usuario (GUI) y la comunicación con programas en otros lenguajes y con otros dispositivos hardware. El paquete MATLAB dispone de dos herramientas adicionales que expanden sus prestaciones, a saber, Simulink (plataforma de simulación multidominio) y GUIDE (editor de interfaces de...