sistemas lineales

Universidad Nacional del
Callao
Control No Lineal

Semana 02

Capítulo 2
Estabilidad Según Lyapunov
para Sistemas Estacionarios

• La teoría de estabilidad juega un rol central en
teoría de sistemas e ingeniería. Existen distintos
tipos de problemas de estabilidad en los sistemas
dinámicos. En este capítulo vamos a tratar
estabilidad de puntos de equilibrio; más adelante
en elcurso veremos otros problemas de estabilidad,
como el de estabilidad entrada-salida.

• Un punto de equilibrio se dice estable si todas las
soluciones que se inicien en las cercanías del
punto de equilibrio permanecen en las cercanías
del punto de equilibrio; de otro modo el punto de
equilibrio es inestable.
• Un punto de equilibrio se dice asintóticamente
estable si todas las solucionesque se inicien en
las cercanías del punto de equilibrio no sólo
permanecen en las cercanías del punto de
equilibrio, sino que además tienden hacia el
equilibrio a medida que el tiempo se aproxima a
infinito.

• Los teoremas de estabilidad de Lyapunov dan
condiciones suficientes para estabilidad de puntos de
equilibrio. Existen teoremas conversos que establecen
que, al menosconceptualmente, en los teoremas de
Lyapunov muchas de estas condiciones son también
necesarias.
Trataremos estos teoremas conversos en el capítulo
siguiente, junto a extensiones de los resultados para
sistemas inestacionarios.

2.1 El Teorema de Estabilidad de
Lyapunov
Consideremos el sistema estacionario

x  f (x)


(2.1)

Donde f : D  Rn es un mapa localmente Lipschitz desde un
n
ndominio D  R en R .
Supongamos que 𝑥 ∈ 𝐷 es un PE de (2.1), es decir f ( x )  0 .
Vamos a caracterizar y estudiar la estabilidad de 𝑥 .
Por conveniencia, vamos a asumir que 𝑥 = 0 (esto no nos
hace perder generalidad porque, si no es así, definimos
𝑦 = 𝑥 − 𝑥 y trabajamos con la ecuación 𝑦 = g(y) donde
g(y)=𝑓(𝑦 + 𝑥), que tiene un equilibrio en el origen.)

Definición 2.1
El PE x  0 de(2.1) es:
 Estable, si para cada ϵ > 0 existe    () , tal que
x(0)    x(t ) , t  0

 Inestable si no es estable.
 Asintóticamente estable (AE) si es estable y  puede
elegirse tal que x(0)    lim x(t )  0
t 



Los tres tipos de estabilidad se pueden ver en la
ecuación del péndulo. Los PE son (0, 0) y (π, 0).
Considerando que no hay fricción, o sea tomando k = 0,las trayectorias en el entorno del primer PE son órbitas
cerradas. Empezando suficientemente cerca del PE se
puede garantizar que las trayectorias van a permanecer
en cualquier bola pre-especificada alrededor del PE. Por
lo tanto, el PE es estable. No es AE, sin embargo, porque
las trayectorias que comienzan fuera del PE nunca
tienden a él.

• Si consideramos fricción (k > 0), el PE en elorigen es un foco
estable. La inspección del retrato de fase de un foco estable
muestra que el requisito   para estabilidad se satisface;
más aún, las trayectorias que comienzan cerca del PE tienden
a él cuando t   .
• El segundo PE en (π, 0) es un punto de ensilladura. Es obvio
que el requisito  para estabilidad no se satisface porque,
para cualquier 0 , siempre hay unatrayectoria que deja la
bola x  R n x  x  , aún cuando x(0) sea arbitrariamente
cercano al PE.
• La Definición 2.1 tiene como condición implícita la existencia
de la solución para todo t  0 .Esta propiedad de existencia
global (en el tiempo) de la solución no está garantizada,
como ya vimos, por la Lipschitzidad local de f. Vamos a ver,
sin embargo, que las condiciones adicionales que requiereel
Teorema de Lyapunov van a garantizar la existencia global (en
el tiempo) de la solución.

 Recién vimos que para el ejemplo del péndulo se pueden
determinar las propiedades de estabilidad analizando el retrato
de fase. Este enfoque es difícil de extender a sistemas de orden
mayor que dos. Vamos a ver que las conclusiones a las que
llegamos analizando el retrato de fase del péndulo...