Sistemas Masa Resorte

MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO
* LEY DE HOOKE
Suponga que un resorte se suspende verticalmente de un soporte rígido y luego se fija una masa m a su extremo libre. Por supuesto, la cantidad de alargamiento o elongación del resorte depende de la masa; masa con pesos diferentes alargan el resorte en cantidades diferentes. Por la ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza restauradora Fopuesta a la dirección de elongación y proporcional a la cantidad de elongación y es expresada en forma simple como
F= ks, donde k es una constante de proporcionalidad llamada constante de resorte. El resorte se caracteriza en esencia por el numero k. Por ejemplo, si una masa que pesa 10 libras hace que un resorte se alargue 12 pie, entonces 10=k12 implica que k=20 lbft. Entonces necesariamenteuna masa que pesa, digamos, 8 libras alarga el mismo resorte solo 25 pie.

* SEGUNDA LEY DE NEWTON
Después de que se une una masa m a un resorte, esta alarga el resorte una cantidad s y logra una posición de equilibrio en la cual su peso W se equilibra mediante la fuerza restauradora ks. El peso se define mediante W = mg, donde la masa se mide en slugs, kilogramos o gramos y
g= 32pies/s2, 9.8 m/s2. La condición de equilibrio es mg = ks o mg-ks = 0. Si la masa se desplaza por una cantidad x de su posición de equilibrio, la fuerza restauradora del resorte entonces k(x+s). Suponiendo que no hay fuerzas restauradoras que actúan sobre el sistema y suponiendo que la masa vibra libre de otras fuerzas externas – movimiento libre- se pueden igualar a la segunda ley de Newton con lafuerza neta o resultante de la fuerza restauradora y el peso.

* ED DE UN MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO
Dividiendo la ecuación anterior entre la masa m, se obtiene la ecuación diferencial de segundo orden donde w2= km. Se dice que la ecuación anterior describe el movimiento armónico simple o movimiento libre no amortiguado. Dos condiciones iniciales obvias relacionadas son x0= x0 y x'0=x1,el desplazamiento inicial y la velocidad inicial de la masa, respectivamente. Por ejemplo, si x0>0, x1<0, la masa parte de un punto debajo de la posición de equilibrio con una velocidad impartida hacia arriba. Cuando x'0=0, se dice que la masa se libera desde el reposo de un punto x0 unidades arriba de la posición de equilibrio.
EJEMPLO:
Una masa que pesa 2 libras alarga 6 pulgadas unresorte. En t=0 se libera la masa desde un punto que esta 8 pulgadas debajo de la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 43 pie/s. Determine la ecuación de movimiento.
-SOLUCION: Debido a que se esta usando el sistema de unidades de ingeniería, las mediciones dadas en términos de pulgadas se deben convertir en pies: 6 pulg = ½ pie; 8 pulg = 2/3 pie. Además, se deben convertirlas unidades de pedo dadas en libras a unidades de masa. De m= W/g tenemos que m=232=116 slug. También, de la ley de Hooke, 2 = k(12) implica que la constante de resorte es k= 4lb/pie. Por lo que, de la primera ecuación se obtiene

El desplazamiento inicial y la velocidad inicial con x(0)=2/3, x’(0)= -4/3, donde el signo negativo en la última condición es una consecuencia del hecho de que a lamasa se le da una velocidad inicial en la dirección negativa o hacia arriba.
Ahora w2=64 o w=8 , por lo que la solución general de la ecuación diferencial es

Aplicando las condiciones iniciales a x(t) y x’(t)se obtiene C1= 23 y C2= -16. Por lo tanto la ecuación de movimiento es:
* MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO
El concepto de movimiento armónico libre es un poco irreal, puesto que elmovimiento que describe la primera ecuación supone que no hay fuerzas retardadoras actuando sobre la masa en movimiento. A menos que la masa se suspenda en un vacio perfecto, habrá por lo menos una fuerza de resistencia debida al medio circundante.
* ED DE UN MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO
En el estudio de la mecánica, las fuerzas de amortiguamiento que actúan sobre un cuerpo se consideran...