Sistemas matrices

Problemas de Matemáticas I - Práctica I APLICACIONES DE LAS MATRICES Y LOS SISTEMAS LINEALES
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Sobre cambios de moneda extranjera Problema nº 1.- Un empresario estadounidense necesita cantidades fijas de yenes japoneses, libras inglesas y marcos alemanes durante cada viaje de negocios. Este año viajó 3 veces. La primera vez necesitó un total de $2.550 con las siguientes tasas:100 yenes por dólar, 0'6 libras por dólar y 1'6 marcos por dólar. La segunda vez necesitó $2.840 en total con tasas de 125 yenes, 0'5 libras y 1'2 marcos por dólar. La tercera vez necesitó un total de $2.800 a 100 yenes, 0'6 libras y 1'2 marcos por dólar. ¿Cuál es la cantidad fija de yenes, marcos y libras que cambia en los viajes? Circuitos eléctricos La intensidad de las corrientes y las caídas devoltaje en un circuito eléctrico se rigen por las Leyes de Kirchhoff. LEY DE KIRCHHOFF DE LA CORRIENTE: La suma algebraica de todas las corrientes en cualquier nodo es cero. LEY DE KIRCHHOFF DEL VOLTAJE: La suma algebraica de todos los cambios de potencial en cualquier bucle es cero. Una aplicación frecuente de estas leyes es cuando se conoce el voltaje de la fuerza electromotriz E (que por logeneral es una batería o generador) y los ohmios Rj de las resistencias, y se pide calcular la intensidad ij de las corrientes, que circulan por cada segmento del circuito. Obsérvese que para cada elemento en el circuito hay que elegir una dirección positiva para medir la corriente que pasará a través de dicho elemento. Las elecciones se indican con flechas. Para la fuente de voltaje E se toma comopositivo el sentido del polo negativo al positivo. Dicha elección condicionará también el signo de los cambios de potencial en las resistencias. El cambio de potencial a través de las resistencias será negativo cuando dicho cambio se mida en el mismo sentido que la corriente, y positivo en el caso contrario. Ejemplo:

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Ejemplo: En los nodos A y B tenemos: i1-i2-i3 = 0 En el bucle L1 tenemos: E-R1i1-R2i2= 0 En el bucle L2: R2i2-R3i3 = 0
E + R1 A i3 i1 L1 i2 L2 R2 B R3

Problema nº 2.- Calcular las corrientes i1, i2, i3 en el circuito eléctrico de la figura de abajo si el voltaje de la batería es E = 6 V y las resistencias son R1 = 3 Ω, R2 = 5 Ω, R3 = 4 Ω, R4 = 2 Ω.

R1

A i3

i1 E + L1

i2 L2 R2 R4B R3

Criptografía: El mundo de las telecomunicaciones y las nuevas tecnologías de la información se interesa cada vez más por la transmisión de mensajes encriptados que sean difíciles de desencriptar por otros, en caso de ser interceptados, pero que se decodifiquen con facilidad por quienes los reciben. Hay muchas formas interesantes de cifrar o encriptar mensajes, y en su mayor parte usan lateoría de números o el álgebra lineal. Describiremos aquí un método que es eficaz, en especial cuando se usa una matriz de gran tamaño. En los ejercicios trabajaremos con matrices pequeñas para evitar grandes cálculos manuales. Comenzaremos con una matriz M invertible, que sólo la conocen quienes trasmiten y quienes reciben. Por ejemplo,

 − 3 4 M =   − 1 2
Supongamos que se deseaencriptar el mensaje: ATTACK NOW Reeemplazamos cada letra por el número que le corresponde a su posición en el alfabeto (A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z) y representamos un espacio por 0. El mensaje anterior se ha convertido en la sucesión de números 1, 20, 20,1, 3, 11, 0, 14, 15, 23, que agrupamos en una sucesión de vectores columna
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 1   20  3   0  15  20 ,  1  , 11, 14, 23          
y multiplicamos por al izquierda a M:

 1 20 3 0 15  77 − 56 35 56 47 M ⋅ =   20 1 11 14 23 39 − 18 19 28 31 .
Con lo que el mensaje cifrado que se enviará es 77, 39, -56, -18, 35, 19, 56, 28, 47, 31. Para desencriptar el mensaje quien lo recibe debe calcular M -1,

2 ...