sistemas mecanicos
Páginas: 10 (2294 palabras)
Publicado: 23 de octubre de 2013
REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO “SANTIAGO MARIÑO”
ESCUELA 47 SECCION “A”
PTO ORDAZ—EDO.BOLIVAR
PROFESOR: BACHILLER:
GÓMEZ DILIACIUDAD GUAYANA, JULIO DEL 2013
MODELO MATEMATICO DE LOS SISTEMAS MECANICOS
Analogías entre los sistemas mecánicos y eléctricos
Para comprender las analogías vamos a ver un caso sencillo de un circuito mecánico con un grado de libertad. No importa en ningún caso la complejidad de los sistemas, solo importa que las ecuaciones que rigen su comportamiento sean iguales.
Sea elsiguiente sistema mecánico de traslación:
En este sistema M es la masa, R el coeficiente de rozamiento o amortiguamiento, K la constante de elasticidad del muelle, x el desplazamiento lineal y F la fuerza aplicada. La ecuación diferencial que define su comportamiento es:
(Expresión A)
Sea el siguiente sistema eléctrico pasivo:
En este sistema L es la inductancia de labobina, R la resistencia, C la capacidad del condensador, i la corriente que circula y V la tensión aplicada. La ecuación integro-diferencial que rige su comportamiento es:
Que puede ponerse en términos de la carga eléctrica q como:
(Expresión B)
A la vista de las expresiones A y B es evidente que las ecuaciones diferenciales para ambos sistemas son idénticas, por lo que estos sistemasse denominan sistemas análogos, y las magnitudes que los representan se llaman magnitudes análogas.
Esta correspondencia es conocida como analogía de impedancia, o Fuerza-Tensión, y se representa en la siguiente tabla:
Sistema Mecánico
Sistema Eléctrico
Fuerza (F)
Tensión (v)
Desplazamiento (x)
Carga (q)
Velocidad (dx/dt)
Corriente (i)
Cte. elasticidad (K)
Capacidad (1/C)Rozamiento (R)
Resistencia (R)
Masa (M)
Inductancia (L)
Existe otro tipo de analogía, también muy útil, entre sistemas mecánicos y eléctricos que es la analogía de movilidad o admitancia y que es simplemente la dual de la anterior. De hecho, es este tipo de analogía la que se suele emplear (y la que se ha empleado en el análisis que realiza este programa) por la facilidad con que se halla elcircuito eléctrico a partir de su mecánico análogo, y porque el circuito eléctrico es fácilmente analizable eléctricamente usando análisis nodal.
Sea el siguiente sistema eléctrico pasivo:
En este sistema L es la inductancia de la bobina, R la resistencia, C la capacidad del condensador, i la corriente que circula y V la tensión aplicada. La ecuación integro-diferencial que rigesu comportamiento es:
Que puede ponerse en términos de carga eléctrica como:
(Expresión C)
Comparando las expresiones A y C, vemos que al igual que ocurría con la analogía de impedancia, las ecuaciones diferenciales son iguales.
La correspondencia mecánico-eléctrico de la analogía de movilidad se muestra en la siguiente tabla:
Sistema Mecánico
Sistema Eléctrico
Fuerza(F)
Corriente (i)
Desplazamiento (x)
Carga (q*Z)
Velocidad (dx/dt)
Tensión (v)
Cte. elasticidad (K)
Inductancia (1/L)
Rozamiento (R)
Resistencia (1/R)
Masa (M)
Capacidad (C)
La impedancia mecánica
En el punto anterior hemos visto las analogías entre elementos mecánicos y eléctricos, manejando sus componentes. Vamos ahora a entrar más en detalle sobre cada uno de los componentesmecánicos en concreto y sus análogos eléctricos.
La impedancia mecánica Zm se define como la relación compleja entre la fuerza eficaz que actúa sobre un área de un dispositivo mecánico (o un medio acústico) y la velocidad eficaz compleja lineal resultante a través de tal área. Sus unidades son los Ohmios mecánicos (N*seg)/m.
La inversa de la impedancia compleja mecánica recibe el...
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO “SANTIAGO MARIÑO”
ESCUELA 47 SECCION “A”
PTO ORDAZ—EDO.BOLIVAR
PROFESOR: BACHILLER:
GÓMEZ DILIACIUDAD GUAYANA, JULIO DEL 2013
MODELO MATEMATICO DE LOS SISTEMAS MECANICOS
Analogías entre los sistemas mecánicos y eléctricos
Para comprender las analogías vamos a ver un caso sencillo de un circuito mecánico con un grado de libertad. No importa en ningún caso la complejidad de los sistemas, solo importa que las ecuaciones que rigen su comportamiento sean iguales.
Sea elsiguiente sistema mecánico de traslación:
En este sistema M es la masa, R el coeficiente de rozamiento o amortiguamiento, K la constante de elasticidad del muelle, x el desplazamiento lineal y F la fuerza aplicada. La ecuación diferencial que define su comportamiento es:
(Expresión A)
Sea el siguiente sistema eléctrico pasivo:
En este sistema L es la inductancia de labobina, R la resistencia, C la capacidad del condensador, i la corriente que circula y V la tensión aplicada. La ecuación integro-diferencial que rige su comportamiento es:
Que puede ponerse en términos de la carga eléctrica q como:
(Expresión B)
A la vista de las expresiones A y B es evidente que las ecuaciones diferenciales para ambos sistemas son idénticas, por lo que estos sistemasse denominan sistemas análogos, y las magnitudes que los representan se llaman magnitudes análogas.
Esta correspondencia es conocida como analogía de impedancia, o Fuerza-Tensión, y se representa en la siguiente tabla:
Sistema Mecánico
Sistema Eléctrico
Fuerza (F)
Tensión (v)
Desplazamiento (x)
Carga (q)
Velocidad (dx/dt)
Corriente (i)
Cte. elasticidad (K)
Capacidad (1/C)Rozamiento (R)
Resistencia (R)
Masa (M)
Inductancia (L)
Existe otro tipo de analogía, también muy útil, entre sistemas mecánicos y eléctricos que es la analogía de movilidad o admitancia y que es simplemente la dual de la anterior. De hecho, es este tipo de analogía la que se suele emplear (y la que se ha empleado en el análisis que realiza este programa) por la facilidad con que se halla elcircuito eléctrico a partir de su mecánico análogo, y porque el circuito eléctrico es fácilmente analizable eléctricamente usando análisis nodal.
Sea el siguiente sistema eléctrico pasivo:
En este sistema L es la inductancia de la bobina, R la resistencia, C la capacidad del condensador, i la corriente que circula y V la tensión aplicada. La ecuación integro-diferencial que rigesu comportamiento es:
Que puede ponerse en términos de carga eléctrica como:
(Expresión C)
Comparando las expresiones A y C, vemos que al igual que ocurría con la analogía de impedancia, las ecuaciones diferenciales son iguales.
La correspondencia mecánico-eléctrico de la analogía de movilidad se muestra en la siguiente tabla:
Sistema Mecánico
Sistema Eléctrico
Fuerza(F)
Corriente (i)
Desplazamiento (x)
Carga (q*Z)
Velocidad (dx/dt)
Tensión (v)
Cte. elasticidad (K)
Inductancia (1/L)
Rozamiento (R)
Resistencia (1/R)
Masa (M)
Capacidad (C)
La impedancia mecánica
En el punto anterior hemos visto las analogías entre elementos mecánicos y eléctricos, manejando sus componentes. Vamos ahora a entrar más en detalle sobre cada uno de los componentesmecánicos en concreto y sus análogos eléctricos.
La impedancia mecánica Zm se define como la relación compleja entre la fuerza eficaz que actúa sobre un área de un dispositivo mecánico (o un medio acústico) y la velocidad eficaz compleja lineal resultante a través de tal área. Sus unidades son los Ohmios mecánicos (N*seg)/m.
La inversa de la impedancia compleja mecánica recibe el...
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