Sistemas Numéricos y Lógica

Sistemas Numéricos y Lógica



SISTEMAS NUMERICOS
Un sistema numérico es un conjunto de símbolos y reglas que se utilizan para representar datos numéricos o cantidades.
Se caracterizan por su base que indican el número de símbolos distintos que utiliza y además es el coeficiente que determina cual es el valor de cada símbolo dependiendo de la posición que ocupe.
Estas cantidades secaracterizan por tener dígitos enteros y fraccionarios.
Si aj indica cualquier dígito de la cifra, b la base del sistema de numeración y además de esto la cantidad de dígitos enteros y fraccionarios son n y k respectivamente, entonces el número representado en cualquier base se puede expresar de la siguiente forma:
Nb = [an-1.an-2.an-3..........a3.a2.a1, a0,a-1.a-2.a-3 .......a-k] b
Donde: j ={n-1, n-2,.........2, 1, 0,-1, -2, ......, -k} y n + k indica la cantidad de dígitos de la cifra.
Ejemplo, el número 347,5610
En base diez tiene n=3 y k=2 con la parte entera: an-1= a2 = 4; a1=4; a0=7 y parte fraccionaria a-1=5; a-2=6
3*102 + 4*101 + 7*100 + 5*10-1 + 6*10-2 = 3*100 + 4*10 + 7*1 + 5*1/10 + 1*1/100 =
300 + 40 + 7 + 5*0,1 + 6*0,01 = 347,5610

Ejemplo, el número 31221,324En base cuatro tiene n=5 y k=2 con la parte entera: an-1=a4=3; a3=1; a2=2; a1=2; a0=1 y parte fraccionaria a-1=3; a-2=2
Principales Sistemas Numéricos
Sistema Decimal
Este es el sistema que manejamos cotidianamente, está formado por diez símbolos {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} por lo tanto la base del sistema es diez (10).
Sistema Binario
Es el sistema que utiliza internamente el hardware delas computadoras actuales, se basa en la representación de cantidades utilizando los dígitos 1 y 0. Por tanto su base es 2.
Cada dígito de un número en este sistema se denomina bit (contracción de binary digit). Se puede utilizar con nombre propio determinados conjuntos de dígitos en binario. Cuatro bits se denominan cuaterno, ejemplo: 1001, ocho bits octeto o byte, ejemplo: 10010110
SistemaOctal
El sistema numérico octal utiliza ocho símbolos o dígitos para representar cantidades y cifras numéricas. Los dígitos son: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; la base de éste es ocho (8).
Sistema Hexadecimal
El sistema numérico hexadecimal utiliza dieciséis dígitos y letras para representar cantidades y cifras numéricas. Los símbolos son: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}; la base delsistema es dieciséis (16).
En la tabla 1 se muestra la equivalencia decimal, binaria, octal y hexadecimal.
Tabla 1 Equivalencia entre Sistemas Numéricos
Decimal
Binario
Octal
Hexadecimal
0
0000
0
0
1
0001
1
1
2
0010
2
2
3
0011
3
3
4
0100
4
4
5
0101
5
5
6
0110
6
6
7
0111
7
7
8
1000
10
8
9
1001
11
9
10
1010
12
A
11
1011
13
B
12
1100
14
C13
1101
15
D
14
1110
16
E
15
1111
17
F

Operaciones Aritméticas de Los Distintos Sistemas
Al igual que en el sistema decimal, en otros sistemas de numeración, se pueden realizar operaciones aritméticas, tales como: suma, resta, multiplicación y división tomando como referencia la base del sistema dado.
Nb = [an-1.an-2.an-3... ...a3.a2.a1, a0,a-1.a-2.a-3 .. ...a-k]b
Suma Binaria,Octal, Decimal y Hexadecimal
En general, para realizar la suma se procede de la misma forma como se hace en el sistema decimal. Por ejemplo, si es an-1.an-2.an-3... ...a3.a2.a1, a0,a-1.a-2.a-3 .. ...a-k un número dado en una base b y hn-1.hn-2.hn-3... ...h3.h2.h1, h0,h-1.h-2.h-3 .. ...h-k es otro dado en la misma base entonces la suma se debe realizar de la siguiente forma:
an-1.an-2.an-3... ... a1, a0, a-1 ... a-k +
hn-1. hn-2.hn-3... ... h1, h0, h-1 . . . h-k
(an-1 + hn-1. + cn-2) (an-2 + hn-2 + cn-3) (a1 + h1. + c0) (a0 + h0 + c-1)...