Sistemas numericos

SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos los números válidos.

TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL A BINARIO
Ejemplo 1: Cómo cambiar el número 26 al sistema binario.

TRANSFORMACIÓN DE BINARIO A DECIMAL
Ejemplo 2: Cómo cambiar el número binario 11012 al sistema decimal.
11012=1×23+1×22+0×21+1×20
=1×8+1×4+0×2+1×1=8+4+0+1
=13
Resultado:
11012=1310

TRANSFORMACIÓN DE UN SISTEMA CUALQUIERA A OTRO SISTEMA QUALQUIERA
Ejemplo 3: En base 4, un número se representa por 20123. ¿Cómo se representa en base 6?
* SOLUCIÓN
* Por descomposición polinómica:
20123(4)=2∙44+0∙43+1∙42+2∙41+3∙40
=2∙256+0+1∙16+8+3
=512+16+11
20123(4)=539
* Ahora convertimos 539 a base 6:
539÷6=89→R=5
89÷6=14→R=514÷6=2→R=2
539 = 2255(6)

* Luego: 20123(4)= 2255(6)
EJERCICIOS RESUELTOS
1) ¿Para que valor de “n” se cumple 5n=210(5)?
* SOLUCIÓN:
* Observamos que 5n está escrito en base 10. Descomponemos los números y los igualamos:
5n=210(n)
5∙10+n=2∙n2+1∙n+0
50+n=2n2+n
50=2n2
502=n2
25=n2→n=5
* Se cumple para n=5
2) Si 34x=25(x+2), ¿cuál es el valor de x?
* SOLUCIÓN:
*Descomponemos los números:
34(x)=3∙x+4 y 25(x+2)=2∙x+2+5
* Los igualamos y resolvemos:
3∙x+4=2∙x+2+5
3x+4=2x+4+5
3x-2x=4-4+5
x=5
Luego, el valor de x es 5.
3) Halla 2a+b2, si aab(7)=213(5).
* SOLUCIÓN:
* Convertimos 213(5) a base decimal
2135=2∙52+1∙5+3
2135=2∙25+5+3
2135=50+8
213(5)=58
* Convertimos 58 a base 7:
58÷7=8→R=2
8÷7=1→R=1
58=112(7)
* Comoaab(7)=213(5) y 213(5)=112(7), entonces aab(7)=112(7)
* Observamos que: a=1 y b=2
* Hallamos 2a+b2, reemplazando los valores encontrados para a y b:
2a+b2=21+(2)2
2a+b2=2+4=6
* 2a+b2 es igual a 6
4) Los siguientes números, forman una serie en base 10. Halla el valor de x(4).
110(3); 20(7); 31(5); x(4)
* SOLUCIÓN:
* Convertimos todos los números a base decimal:110(3)=1∙32+1∙3+0=12
20(7)=2∙7+0=14
31(5)=3∙5+1=16
* Formamos la serie:
12; 14; 16; x
* Luego: x=16+2=18
* Convertimos 18 a base cuatro:
18÷4=4→R=2
4÷4=1→R=0

* Entonces el valor de x(4) es 102(4)
TALLER DE EJERCICIOS
NIVEL INICIAL
1. Convierte los siguientes números al sistema binario.
a) 14
b) 26

2. Convierte los siguientes números al sistema decimal
a) 1001101 (2)b) 11101101 (2)

3. Halla el número de cifras de:
a) 341 en base 5.
b) 29 en base 5.
c) 11 en base 2.
d) 85 en base 3.

4. Convierte:
e) 1111(2) al ternario (base 3).
f) 222(3) al cuaternario (base 4).
g) 7654(8) al quinario (base 5).

5. ¿Cuántos números naturales hay desde 30(4) hasta el 42(5)?

6. En el sistema numérico queusamos es base diez. Si se cambia a base 6, se contaría así:1; 2; 3; 4; 5; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 20... ¿Cuál sería el número 39?

7. Resuelve las siguientes operaciones:
h) 3302(5) + 2044(5)
i) 1221(3) + 221(3)
j) 417(8) – 316(8)
k) 3213(7) – 2112(7)

8. Si abcd(4)=123. Halla el valor de a+b+c.

9. Si a+b+c=16, realiza la siguiente operación:abc+bca+cab.

NIVEL INTERMEDIO
10. Halla el valor de b-a, si 4a(8)=ba(5)+ab(7) y a+b=5.

11. Si 8ab=41∙ab y a-b=2, hallar a+b.

12. Un número de dos cifras en base 9 al convertirse en base 5 se expresa por las mismas cifras pero dispuestas en orden inverso. ¿Cuál es el número en el sistema decimal?

13. Un vendedor que emplea el sistema base 6, envía 180 cajas de aceite. ¿Cómo escribeel número de cajas que envía?

14. Un comerciante envía 150 cajas de galletas a una distribuidora que emplea el sistema ternario, ¿Cómo representa la distribuidora el número de cajas que envía el comerciante?

15. Rosa y Raúl están resolviendo un problema de matemática cuyo resultado lo dan en base cuatro. Al confrontar las respuestas a Rosa le salió 1230 y a Raúl 330. ¿Cuál es la...