Sistemas Numericos

Sistema Numérico

Se llama sistema numérico al conjunto ordenado de símbolos o dígitos y a las reglas con que se combinan para representar cantidades numéricas. Existen diferentes sistemas numéricos, cada uno de ellos se identifica por su base.

Dígito
Un dígito en un sistema numérico es un símbolo que no es combinación de otros y que representa
un entero positivo.

Bit
Es un dígitobinario (Abreviación del inglés binary digit), es decir, un 0 o un 1.

Base de un sistema numérico

La base de un sistema numérico es el número de dígitos diferentes usados en ese sistema.
A continuación se ejemplifican estas definiciones con los sistemas numéricos más comúnmente
usados que son:
16 Hexadecimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
10 Decimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9
8 Octal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
2 Binario 0, 1

Notación posicional
Al escribir un número con esta notación, la posición de cada dígito nos dice su peso relativo. En
general, en la base r un número N de n dígitos en la parte entera y m dígitos en la parte fraccionaria en esta notación se escribe:
N= (an-1 a n-2 .... a1 a0. a-1 .... a -m) r (1.3)
En esta notación el dígito de más a laizquierda (an-1) es decir, el que “pesa” más se denomina dígito más significativo (MSD), en forma similar al de más a la derecha (a-m), es decir, el que “pesa” menos se le llama dígito menos significativo (LSD)
Ejemplo: (218.25)10 r=10, n=3, m=2

Notación polinominal

En general cualquier número N puede ser escrito como un polinomio en potencias de la base.
Ejemplo:
N = (218.25)10 = 2*102 +1*101 + 8*100 + 2*10-1 + 5*10-2

conversión entre sistemas numéricos

El problema general de convertir un número de su representación en base r a la correspondiente en base q se puede resolver en un sólo paso si se maneja aritmética de base r o de base q, sin embargo, si se quiere usar en el proceso solamente aritmética de base 10 debemos plantearlo en dos etapas

conversión de base r abase 10
Como lo sugiere la figura 1.1 este caso puede ser tratado directamente usando la notación
polinomial y aritmética de base 10.

Ejemplo. Convertir (B2A)16 a base 10.
Expresando el número en notación polinomial usando base 10 para representar cada cantidad
involucrada en dicha notación:
(B2A) 16 = (1*162 + 2*161 + 10*160)10 = (11*256 + 2*16 + 10)10 = (2858)10

Ejemplo Convertir(11011)2, a base 10
En forma similar al ejemplo anterior
(11011)2 = 1*24 + 1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 =16 + 8 + 0 + 2 + 1 = (27)10
(en este caso y en los sucesivos se han obviado los paréntesis y el subíndice 10 para indicar decimal,
excepto hasta el resultado final).
Ejemplo Convertir (12101.121)3 a decimal
(12101.11)3 = 1*34 + 2*33 + 1*32 + 0*31 + 1*30 + 1*3-1 + 2*3-2 + 1*3-3 = 1*81 + 2*27 +1*9 + 0 + 1 + 1/3 + 2/9 + 1/27 = (145.592592...)10

caso particular. conversión entre bases rk y r
Cuando una de las bases involucradas en la conversión es una potencia entera de la otra la
conversión se vuelve muy sencilla, ya que se puede realizar en un sólo paso expresando cada dígito del número en base rk usando k dígitos de base r. Además, este procedimiento no requiere aritmética deningún tipo.
Ejemplo Convertir N= (10111011110)2 a base 8 y a base 16
para base 8: Como 8 = 23, bastará con representar cada 3 dígitos del número binario en octal como se muestra a continuación
N 10, 111, 011, 110
2 7 3 6
Es decir, N= (2736)8
para base 16: como 16=24, en forma similar al caso anterior
N 101, 1101,1110
5 D E
Es decir, N= (5DE) 16
Ejemplo Convertir N= (3F45)16 a base 4 y abase 2
para base 4 como 16 = 42, se convertirá cada dígito del número usando 2 dígitos de base 4 como
se muestra a continuación
N 3, F, 4, 5
03 33 10 32
Es decir, N= (03331032)4
para base 2 en forma similar, como 16 = 24
N 3, F, 4, 5
0011 1111 0100 0101
Es decir, N= (0011111101000101)2
Por la importancia del caso a continuación se tratará de manera especial el caso de base dos o...