Sistemas Numericos

ee SISTEMAS NUMÉRICOS
Los números usados para contar son: 1, 2, 3, 4, 5,……………………., los cuales denotamos por N y se denominan números naturales. Los puntos suspensivos indican que no se han escrito todos los números naturales. Los elementos de N se caracterizan por lo siguiente: a) 1 es el primer número natural b) Dado un numero natural podemos hallar el siguiente, lo cual nos dice que no existeun último número natural.
Notamos que el 0 no es un número natural.
En N podemos definir dos operaciones: suma y multiplicación, que dan como resultado números naturales cuando operamos con números naturales. Decimos que N con la suma y la multiplicación forma el sistema de los números naturales.
La ecuación 5 + x = 2 no tiene solución en N, para dar solución a la ecuación anterior ampliamoslos naturales a los enteros.
Los números: ……-3, -2, 0, 1, 2, 3,…………. son denotados por Z, se llaman los números enteros. Notamos que Z es una ampliación de N. En Z podemos definir las operaciones: suma, multiplicación y diferencia, que forman con Z el sistema numérico de los enteros.
Sea No los números: 0, 1, 2, 3,…………. y decimos que No son los números enteros no negativos.
Los números paresson: …….., -4, -2, 0, 2, 4,………., esto es, un numero entero x es par si es de la forma x= 2K para K entero.
Los números impares son: …..,-5, -3, -1, 1, 3, 5,…………. Vemos que un número impar es de la forma x = 2K + 1 para K entero.
Los múltiplos de 3 son: ……….,-6, -3, 0, 3, 6,…………….. que son de la forma x = 3 K para K entero.
En general, si m es numero entero, los múltiplos de m son:
…….,-3m, -2m,-m, 0, m, 2m, 3m,……….. y son de la forma Km donde K es un entero.
Sean a, b, c números enteros tales que: a = b.c, decimos que “a es múltiplo de b” o que “a es múltiplo de c”. Como 15 = 3 x 5, decimos que 15 es múltiplo de 5.
Definición. Un entero p es un numero primo si los únicos divisores de p son: 1, -1, p, -p.
De acuerdo con la definición anterior los números primos son.
……………, -5, -3,-2, 2, 3, 5,……………………………………………………
Notamos que: 0, -1, 1 no son números primos.
La ecuación 3x = 8 no tiene solución en los enteros, para dar solución a esta ecuación debemos ampliar los enteros a los racionales.
Sea r un numero de la forma r = p/q donde p, q son enteros con q ≠ 0, decimos que r es un numero racional. Denotamos con Q a los números racionales.
Ejemplo: 3/7, 5/3, - 4/9, etc., sonnúmeros racionales. Observemos que un número racional es un número fraccionario.
En Q podemos definir: la suma, la diferencia, la multiplicación y la división del divisor diferente de cero; que forman con Q el sistema de los racionales.
Decimales
Sea
Donde k es un entero y ai es un digito. Decimos que la ecuación anterior es un decimal.
Ejemplo. 0,5; 2,3636…………..; 3,1415…………….., sondecimales.
Clasifiquemos los decimales en tres:
1) Decimales exactos: Si el numero de cifras decimales no cero es finito.
Ejemplo: 0,5; 0,326, etc. son exactos.
2) Decimales periódicos: Si un grupo de cifras decimales, llamado periodo, se repite indefinidamente y en el mismo orden.
Ejemplo: 0,3333………; 0,2424…………..; 0,538538……….son decimales periódicos.
3) Decimales no periódicos: Los demásdecimales.
Ejemplo: , 2, etc. son decimales no periódicos.
Las propiedades siguientes las enunciamos sin demostración:
1) Todo número racional, al efectuar la división del numerador por el denominador, da origen a un decimal exacto o periódico.
Ejemplo: ½ = 0.5; 1/6 = 0.16666……, etc.
2) Todo decimal exacto o periódico da origen a un racional.
Ejemplo: 0.3333……… = 1/3; 0.2424………..= 8/11, etc.Definición. Todo número decimal no periódico se llama irracional. Los números irracionales los denotamos por QE.
Ejemplo:  = 3,1416………; e = 2,7182……..; 2 = 1,4142…………, son números irracionales.
Definición. Los números racionales y los números irracionales forman los números reales. Denotamos por R a los reales.
En R definimos: suma, diferencia, multiplicación y división de divisor no cero,...