sistemas

Transformación de Galileo
Supongamos dos sistemas de referencia: uno fijo con origen en O y otro móvil con
respecto al primero que tiene su origen en O’. Para simplificar, vamos a suponer que el
móvil sólo se mueve en el eje X respecto al fijo con una velocidad v. Una partícula se
mueve con respecto a O’ ¿cómo serán las ecuaciones del movimiento respecto a O?.

x = x ' + vt
y = y'
z = z'Esta es la relatividad de Galileo.

Los postulados de Einstein
Un postulado es algo que establece sin demostración a partir del que se deducen unas
consecuencias. Si estas pueden comprobarse experimentalmente entonces los postulados
son válidos.
Primer Postulado:
Las leyes físicas son idénticas en todos los sistemas inerciales y se expresan
mediante ecuaciones análogas. No hay forma desaber el estado de movimiento de
un observador a partir de un experimento físico que se realice por el observador
dentro de su sistema de referencia. Una bombilla tarda el mismo tiempo en llegar
al suelo de un ascensor si este está en reposo o si se mueve con velocidad
constante. ¡Piénsalo!
Segundo Postulado:
La luz siempre se propaga en el vacío con una velocidad c, que es independiente
delestado de movimiento del cuerpo que emite la luz o del observador.

Transformación de Lorentz
Relaciona las coordenadas de un sistema de referencia fijo y un sistema de referencia
móvil teniendo en cuenta los postulados de Einstein.

x ' = a11x + a12 y + a13 z + a14 t
y ' = a 21x + a 22 y + a 23 z + a 24 t
z ' = a31x + a 32 y + a 33 z + a 34 t
t ' = a 41x + a 42 y + a 43 z + a 44 t

(1)Si suponemos que el sistema móvil se desplaza a lo largo del eje X, no hay movimiento
relativo en los otros ejes y tendríamos que
a 22 = a33 = 1
a 21 = a 23 = a 24 = 0
a31 = a32 = a34 = 0
Como no hay variaciones en los ejes Y y Z, se considera:
a 42 = a 43 = 0
Debido al movimiento de los ejes sabemos que x’=x-vt, luego
a14 = − v a11
Con estos valores, el sistema de ecuaciones (1) seha transformado en:

x ' = a11 ( x − vt )
y' = y
z' = z
t ' = a 41x + a 44 t

(2)

Supongamos que en el instante t=0 los dos orígenes de coordenadas coinciden y en ese
momento sale una onda electromagnética desde el origen con velocidad c. El espacio
recorrido por esa onda en cada sistema de referencia será:

x 2 + y 2 + z 2 = c2 t 2
x ' 2 + y ' 2 + z ' 2 = c2 t '2

(3)Sustituyendo los valores (2) en la última ecuación de (3), tenemos:
2
a11 ( x − vt ) + y 2 + z 2 = c2 ( a 41x + a 44 t )
2

2

2
2
2
a11x 2 − 2a11xvt + a11v 2 t2 + y 2 + z 2 = c2a 2 x 2 + 2c2a 41a 44 xt + c2a 2 t2
41
44

Si ordenamos los términos

(a

2
11

)

(

)

(

)

2
2
− c2a 2 x 2 + y 2 + z 2 − 2 a11v − c2a 41a 44 xt = c2a 2 − a11v 2 t2
41
44

Para que estaexpresión coincida con la primera ecuación de (3) tiene que ocurrir que:
2
2
a11 − c2a 41 = 1

Se trata de un sistema de tres

2
a11v − c2a 41a 44 = 0

ecuaciones con tres incógnitas. La

2
c2a 2 − a11v 2 = c2
44

solución del sistema es:

a11 = a 44 =

1
1−

v2
c2

a 41 =

Sustituyendo estos valores en el sistema (2) tenemos:

−v
c2 1 −

v2
c2

x' =

x − vty' = y

v2
1− 2
c

z' = z

v
x
c2
t' =
Transformada de Lorentz
v2
1− 2
c
t−

Si la v es despreciable frente a c la transformada de Lorentz se convierte en la de
Galileo. Para obtener las ecuaciones de x, y, z y t en función de x’, y’, z’ y t’ solo
tenemos que sustituir v por –v. Si v es mayor que c los valores de x’ y t’ se hacen
imaginarios por lo que el movimiento convelocidad superior a la de la luz es imposible.
1

γ=

Al término

se le llama factor de Lorentz.
v2
1− 2
c
Las transformadas de Lorentz nos llevan a consecuencias contradictorias sobre las
propiedades del espacio y del tiempo basadas en la experiencia cotidiana.
La longitud se acorta en la dirección del movimiento:

L=

LO
v2
= LO 1 − 2
γ
c

, siendo Lo la longitud en reposo. La...