Sistemas

CÁLCULO II
CAPÍTULO # 7

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES

Introducción:
Las derivadas parciales tienen múltiples aplicaciones en muchas ramas de la ciencia; dentro de las aplicacionesmatemáticas una de las más importantes es a máximos y mínimos. Como no todas las funciones de varias variables se pueden graficar solo se analizará si una función presenta extremos y/o puntos deensilladura. Al igual que para funciones de una sola variable para determinar la presencia de extremos se deberá hallar primero los puntos críticos de la función (igualando la primera derivada a cero)para luego mediante criterios de derivadas determinar si existe máximo o mínimo (criterio de la Segunda Derivada).
Para analizar funciones de varias variables se utilizaran los siguientes procesos:* Análisis del Hessiano, si la función es de dos variables.
* Autovalores del Hessiano, si la función es de tres o más variables.
Para funciones sujetas a restricciones se analizará de la mismaforma pero creando una nueva funciones mediante el uso de los multiplicadores de Lagrange. (Graf.)
Definición 1:
Dada la función f: Rn→R, los puntos Pc∈f donde todas las derivadas parciales deprimer orden de la función son ceros o no existen se llaman puntos estacionarios o puntos críticos de la función.}
Puntos Críticos:
Para determinar los puntos críticos que presenta una función devarios variables se debe formar un sistema de ecuaciones igualando todas las primeras derivadas de la función a cero.
Sea f=f(x1,x2,x3,…, xn) una función de n variables, sus puntos críticos sedeterminarán resolviendo el siguiente sistema:
fx1=0fx2=0…fxn=0 ⟹ Pc=(xo, yo, zo , …, wo)
Nota:
La condición necesaria para que una función tenga extremo en un punto, donde sus derivadas parcialesexisten, es que este punto sea un punto estacionario o crítico, sin embargo esta condición no es suficiente puesto que un punto crítico que no es ni máximo ni mínimo puede ser un punto de...