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SEMANA 7
CURSO :
Tema

CÁLCULO I - INGENIERÍA

Continuidad de Funciones y asíntotas

:

CONTINUIDAD DE FUNCIONES
En matemáticas y ciencias utilizamos la palabra continuo para describir un proceso que sigue sin
cambios abruptos. De hecho, nuestra experiencia nos lleva a suponer que esto es una característica
esencial de muchos procesos naturales. Es esta noción, con respecto afunciones, la que ahora
queremos precisar.
En las tres graficas que se muestran en la figura, sólo la tercera exhibe continuidad en a . En las
primeras dos gráficas, lím f ( x) no existe, o bien existe pero no es igual a f (a ) . Sólo en la tercera
x →a

gráfica lím f ( x) = f (a )
x →a

lím f ( x ) no existe
x →a

lím f ( x ) , existe pero lím f ( x ) ≠ f (a)
x→a

x →a

lím f ( x) = f(a )
x →a

He aquí la definición formal.

Definición de función continua en un punto
Se dice que la función f es continua en el punto a si y sólo si se satisfacen las tres condiciones
siguientes:
(i)
f (a ) existe
(ii)
lím f ( x) existe
x→a

(iii)

lím f ( x) = f (a ) .
x→a

Si una o más de estas tres condiciones no se cumplen en a , entonces se dice que la función f esdiscontinua en a .
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Semestre 2012 – II

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Ejemplos:
 2 x ,0 ≤ x ≤ 10
1. Determinar la continuidad de la función f ( x) = 
en el punto x = 10 .
1.8 x ,10 < x
Solución
(i) f (10) = 20 , existe
(ii) lím f ( x) , no existe
x →10

Así la condición (i) se satisface, pero la condición (ii) no se cumple en 10. Por tanto se concluye
que f es discontinua en 10.

2.Un mayorista distribuye un producto que se vende por libra (o fracción de libra) cobra $2 por
libra si se ordenan 10 o menos libras. Si se ordenan más de 10 libras, el mayorista cobra $20
más $1.40 por cada libra que exceda de las 10. Por tanto si se compran x libras por un costo
total de C ( x) dólares, entonces C ( x) = 2 x si 0 ≤ x ≤ 10 y C ( x) = 20 + 1.4( x − 10) si 10 < x ;
esto es,,0 ≤ x ≤ 10
 2x
C ( x) = 
1.4 x + 6 ,10 < x
Para esta función, C (10) = 20 , y
lím C ( x ) = lím− 2 x = 20

x →10 −

x →10

lím C ( x ) = lím+ (1.4 x + 6) = 20

x →10+

x →10

Por tanto, lím C ( x) existe y es igual a C (10) . En consecuencia C , es continua en 10.
x →10

3. Sea f la función definida por
2 x + 3 , x ≠ 1
.
f ( x) = 
 2 ,x =1

La gráfica de estáfunción, la cual se muestra en la figura, se
rompe en el punto donde x = 1 , por lo que se investigará en
punto las condiciones de continuidad.
(i)
(ii)

f (1) = 2
lím f ( x) = 5

(iii)

ese

lím f ( x) ≠ f (1)

x →1
x →1

Las condiciones (i) y (ii) se satisfacen pero la condición (iii) no se cumple. Por tanto la función
f es discontinua en 1.

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Observe que si en el ejemplo 3, se definirá f (1) como 5 , entonces lím f ( x) y f (1) serían
x →1

iguales y f sería continua en 1.

4.

x −1
, x =1
x +1
Solución
Aplique la definición de continuidad en un punto para analizar la continuidad en un punto. Es
decir:
(i) f(1) = 0
f ( x) =

x −1 0
= =0
(ii) x →1 x + 1 2
lim f(x) = f(1) = 0
lim

(iii) x →1
Por lotanto, la función f es continua en x=1.

5.

f ( x) =

x −2
,
x−4

x=4

Solución
Aplique la definición de continuidad en un punto para analizar la continuidad en un punto. Es
decir:
(i) f(4) = no está definido
lim

(ii)
(iii)

x →4

(x − 4)
x −2
1
1
= lim
= lim
=
x →4 (x − 4) ( x + 2)
x →4 x + 2
x−4
4

lim f(x) ≠ f(4)

x →4

Por lo tanto, f no es continua enx= 4.

6.

 x + 1, x ≤ 2
f ( x) = 
, x=2
 2 ,x > 2
Solución
a) f(2) = 3
b) Analice los límites laterales.

lim f(x) = 2

x →2+

lim f(x) = lim (x + 2) = 3

x →2−

x →2−

Entonces, lim f ( x) no existe.
x→2

Por lo tanto, f no es continua en x= 2.
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Propiedades de Continuidad
Sean f y g dos funciones continuas en...