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CAPITULO XIII
138. determinación de la constante de integración por medio de condiciones iniciales. Como se ha indicado el el artículo 127, la constante de integración puede hallarse, en un casodedo, cuando conocemos el valor de la integral para algún valor particular de la variable. En realidad, para poder determinar la constante de integración es necesario tener algunos datos además de laexpresión diferencial que se ha integrar. Ilustremos esto con un ejemplo.

EJEMPLO. Hallar una función cuya primera derivada sea 3x2-2x+5.
Y tenga el valor 12 cuando x = 1

Solución. 3x2-2x+5 dxes la expresión diferencial por integrar.
Ahora bien.

3x2-2x+5dx=x3-x2+5x+c.
Siendo c la constante de integración. Por las condiciones de nuestro problema.
Este resultado debe ser igual a 12cuando x=1: es decir. Que
12 = 1 – 1 + 5 + C. o sea, que C = 7.
Por tanto, x3-x2+5x+7 es la función buscada.
139. significa geométrico. Ilustraremos con un ejemplo el significado geométrico de laconstante de integración.
EJEMPLO 1. Determinar la ecuación de la curva cuya tangente en cada punto tenga de pendiente 2 x.
Solución. Puesto que la pendiente de la tangente a una curva en un puntocualquiera es dydx, tenemos, por hipótesis.
O sea dydx=2x
dy=2x dx.

Calculointegral
Demostración. Sean u=eax y dv=sen nx dx;
Entonces du=aeax dx y v=cosnxn
Sustituyendo en la forma (A), el resultado es
(2) eaz sen nx dx=eaxcos nxn + an eaxcosnx dx
Integramos por partes la nueva integral.
Sea u=eax y dv=cosnx dx ;
Entonces dU=aeax dx y v=sean nxn.Luego según (A),
(3) eaxcosnx dx=eax sen nxn - an eax sen nx dx
Sustituyendo en (2), obtenemos
(4) eax sen nx dx=eaxn2a sen nx-ncosnx-a2n2 eax sen nx dx.
Las dos integrales...