Sln_segundo_examen_matematica_logistica_20111

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MATEMÁTICA APLICADA
TECNOLOGÍA EN LOGÍSTICA
OPERACIONES MATEMÁTICAS APLICADAS
SOLUCIÓN SEGUNDO EXAMEN
Manizales, 26 de Abril de 2011

1. Realizar al análisis de la siguiente función cuadrática:
a)
b)
c)
d)

Concavidad.
Coordenada del vértice.
Ecuación del eje de simetría.
Coordenadas de Los ceros de la función cuadrática.

y = −3x 2+ 2 x − 5
La función es cóncava hacia abajo, lo anterior por cuanto el
coeficiente de la variable elevada al cuadrado es menor que cero.
Para obtener las coordenadas del vértice:

xv =

−b
−2
−2 2 1
=
=
= =
2a 2 ( −3) −6 6 3

yv = −3 ( xv ) + 2 xv − 5
2

2

1
1
yv = −3   + 2   − 5
3
3
3 2
yv = − + − 5
9 3
1 2  3
yv = − + − 5  
3 3 3
1 2 15 −1 + 2 − 15
14
yv = − + − =
=−
3 3 3
33

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 1 14 
Coordenada del vertice =  , − 
3 3 
También se hubiera podido solucionar la obtención de la coordenada
del vértice, reformulando la ecuación general a la forma del vértice.

y = −3x 2 +2 x − 5

y = ( −3x 2 + 2 x ) − 5
 2 2 
y = −3  x − x  − 5
3 

1 1
 2 2
y = −3  x − x + −  − 5
3
9 9

2
1 3

y = −3  x 2 − x +  + − 5
3
9 9

1 1
 2 2
y = −3  x − x +  + − 5
3
9 3

1  1 15
 2 2
y = −3  x − x +  + −
3
9 3 3


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2

1  14 

 1 14 
y = −3  x −  − ( xv , yv ) =  , − 
3
3

3 3 
Ecuación del eje de simetría:

x=

1
3

Coordenadas de los ceros de la función cuadrática:

y = −3x 2 + 2 x − 5
Con base en la forma de la expresión cuadrática, analizo inicialmente
el valor del discriminante:

∆ = b 2 − 4ac
∆ = 22 − 4 ( −3)( −5)

∆ = 4 − 60 = −56
Conbase en el signo del discriminante, esto significa que la función no
tiene ceros en los reales.

2. Escriba la ecuación para la parábola que pasa por la coordenada y la
coordenada del vértice suministradas.

Vertice = ( −3, 2 )

(12,5)


Quiero ilustrar dos caminos de solución:
Método de la ecuación general:
Con base en las dos coordenadas suministradas, puedo obtener dos
ecuaciones con baseen la forma general:

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y = ax 2 + bx + c
Con base en el hecho de que las dos coordenadas suministradas
pertenecen a la función, lo anterior significa que éstas coordenadas
cumplen con la ecuacióngeneral:

2 = a ( −3)2 + b ( −3) + c

2
5
12
=
a
( ) + b (12 ) + c

 9a − 3b + c = 2

144a + 12b + c = 5
Podre disponer de una tercera ecuación, con base en la coordenada
del vértice:

xv =

−b
= −3 → −b = −6a → b = 6a
2a

Solucionando por eliminación las dos primeras ecuaciones:

9a − 3b + c = 2 ( −1)

 144a + 12b + c = 5
 −9a + 3b − c = −2

144a + 12b + c = 5
135a + 15b = 3

Reemplazandoen la última ecuación el valor obtenido de b, con la
ecuación del vértice

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135a + 15 ( 6a ) = 3
135a + 90a = 3
3
1
225a = 3 → a =
=
= 0.013333
225 75
Reemplazando el valor de a en la ecuación delvértice:

b = 6a
2
 1  6
b = 6  =
=
= 0.08
 75  75 25

Despejando c de una de las dos ecuaciones iníciales y reemplazando
los valores de a y b obtenidos:

9a − 3b + c = 2
c = 2 − 9a + 3b
 1   6 
c = 2 − 9   + 3 
 75   75 
 75   1   6 
c = 2   − 9   + 3 
 75   75   75 
150 9 18
c=
− +
75 75 75

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