Sobre crecimiento de población (co

Modelos Matemáticos de Crecimiento Poblacional
© DR Luis E. Castro Solís, 2004 (Rev. 2008) Universidad Autónoma de Coahuila

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B D P( t) = B 1  1+  − 1e −Bt  D Po 

Los modelos matemáticos de crecimiento poblacional tienen amplia aplicación en ciencia e ingeniería. El desarrollo de modelos matemáticos para simular el crecimiento (cambio en las poblaciones, desintegraciónradiactiva, etc.) se basa en la formulación de una hipótesis para la ecuación de velocidad de cambio de la población P en el tiempo t (1) dP/dt = F(P,t,parámetros)

Al valor B/D se le denomina “Población de saturación”. Esta ecuación proporciona un modelo más realista del crecimiento de poblaciones. Solución de EDOs con MATLAB Matlab nos proporciona una poderosa herramienta numérica para resolver yvisualizar con relativa facilidad la solución de ecuaciones diferenciales. La sintaxis general de los solucionadores (solvers) de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) de Matlab es [t,y]=solver(fun,tspan,y0) Donde: Solver Solucionador a utilizar Fun String con el nombre del M-file que describe la ecuación diferencial Tspan Intervalo de integración y0 Vector de valores iniciales Usaremos dos de lossolvers tipo Runge -Kutta del Matlab® (ode23 y ode45), para resolver los modelos matemáticos de crecimiento de poblaciones. a) Resolviendo el modelo de crecimiento lineal Queremos resolver la ecuación diferencial dP/dt = 0. 5 P(0) = 2 Para valores de t = 0,…,10 1.- Seleccionar del menú principal la opción FILE>NEW>M -FILE y escribir la ecuación diferencial con el siguiente formato function dy =eq1(t,y) dy=0.5; 2.- Una vez hecho lo anterior, guardar la función (FILE>SAVE) y cerrar el editor (FILE>CLOSE) para volver al espacio de matlab 3.- En el prompt de matlab, preparar la presentación de los números >> format long 4.- Crear el vector de valores de tiempo; para ello utilice la función linspace(valor inicial, valor final, numero de puntos intermedios) por ejemplo si queremos dividir elintervalo 0..10 en 10 puntos (Tamaño de paso = 1) >> tspan = linspace(0,10,10); 5.- Usaremos dos métodos explicitos para solución numérica de ecuaciones diferenciales; para mandar llamar al solver ode23 (Runge -Kutta de 2º-3er orden) teclear

Crecimiento aritmético (o lineal) En la hipótesis de crecimiento aritmético, la velocidad de cambio (1) es constante, es decir (2) dP/dt = C; P(0) = PoLa integración del problema de valor inicial (2) nos lleva directamente al modelo de crecimiento (3) (3) P(t) = Po + C t

Correspondiente al caso en donde una población crece linealmente; la tasa de crecimiento es constante. El parámetro C corresponde a la tasa de crecimiento [unidades/T]. Crecimiento geométrico (o exponencial) La velocidad de crecimiento es proporcional a la población presenteen el tiempo “t” (4) dP/dt = K P; P(0) = Po

La integración del problema (4) lleva directamente al modelo de crecimiento exponencial (5) (5) P(t) = Po eK t

La tasa de crecimiento cambia, a medida que la población cambia. El parámetro K corresponde a la tasa de crecimiento [1/T]. Crecimiento logístico La velocidad de crecimiento por individuo de una población es la diferencia entre la tasapromedio de nacimientos y la tasa promedio de mortalidad. Asumiendo que la tasa promedio de nacimientos es una constante positiva B, pero la tasa de mortalidad es proporcional al tamaño de la población, debido a los efectos de competencia, D. Si dP/dt es la velocidad de crecimiento de población, se tiene que la velocidad de crecimiento, por individuo viene dada por (6) (6) (1/P) dP/dt = B – D P

Laecuación logística es (7) (7) dP/dt = P (B – D P); P(0) = Po

con solución (8)

>> [t2 y2] = ode23('eq1', tspan, 2); Para elegir el solver ode24 (Runge - Kutta de 4º-5º orden) teclear >> [t1 y1] = ode45('eq1', tspan, 2); 6.- Para visualizar los resultados en pantalla, teclee >> [t1 y1 y2] 7.- Para graficar los resultados, teclee

Continuando con la visualización: >> plot(t1,y1,'x') >>...