Sobre la vecindad geométrica

Sobre la vecindad geométrica
Manuel Abellanas
Universidad Politécnica de Madrid
manuel.abellanas@upm.es

Abstract
This paper deals with the concept of geometric vicinity. The
central question is: Given a set S of n points on the plane and one
of them p є S, What points of S can be considered the neighbours
of p in S? We review several definitions of the concept and we ask
for efficientalgorithms for computing the neighbours in practice.
The paper aims to be a lesson 1 on Geometry able to be used in the
classroom in undergraduate level or even in high school.

Dedicado al profesor Eugenio Roanes Macías
con motivo de su jubilación académica 2
1 El término lección debe entenderse en sentido amplio según mandan los cánones de la
reforma universitaria en curso. No obstante, apesar de que muchos insisten en que esto
es hacer innovación educativa, el Profesor Roanes sabe muy bien que de novedad no
tiene nada, pues hace bastantes décadas que él ya enseñaba y ponía en práctica muchas
de las metodologías que hoy nos predican como novedades. Renovación tal vez sea el
término correcto. Lo bueno, y lo malo, del problema educativo, es que no tiene
solución, por lo queexige un esfuerzo permanente de renovación en busca de la mejor
solución para cada momento y circunstancia.
2 El profesor Roanes ha sido uno de los pioneros de la didáctica de la Matemática en
España. Sus libros son un referente para quienes están interesados en la materia. Uno de
ellos, Introducción a la Geometría (Anaya 1980), me ha sido de gran utilidad en
numerosas ocasiones, tanto paraaprender Geometría como para aprender a enseñar
Geometría. Este trabajo es un modesto homenaje al Profesor Roanes con la gratitud de
quien ha compartido experiencias con él como alumno y como compañero.

Introducción
Supongamos que estoy en una región poco poblada, plana y despejada (¿La
Mancha de Don Quijote, tal vez?) y necesito pedir ayuda. Como anochece, las
luces en las puertas de lascasas a mi alrededor me ayudan a localizarlas. Así puedo
identificar cuáles son los vecinos a los que acudir. Si puedo caminar en línea recta
en cualquier dirección, el vecino más próximo será el más adecuado para llegar lo
antes posible. Pero tal vez no me interese si se encuentra en dirección muy
diferente a la que llevo en mi viaje caminando a través de la región, pues tendré
que desandar elcamino que ya he hecho y volverlo a andar después. Esto me
plantea la siguiente cuestión: Además del vecino más próximo, ¿cuáles son los
demás vecinos de la posición donde me encuentro?
Esta situación sirve para plantear a nuestros estudiantes un trabajo de
investigación que pueden desarrollar tanto en el aula, mediante debate moderado
por el profesor, como fuera de ella, buscandoinformación que pondrán en común
después, llegando, en su caso, a recoger los resultados obtenidos en un documento.
Simplificación del problema (modelización): Convendremos que tanto las casas
como la posición del caminante se representan por puntos en el plano. Para
distinguir la posición del caminante la dibujaremos de color rojo y las posiciones
de las casas de color azul. Así el problema setransforma en decidir qué puntos
azules son los “vecinos” del punto rojo.
El objetivo principal es que los estudiantes reflexionen sobre el concepto de
vecindad y lo relacionen con el de proximidad, distinguiendo ambos conceptos.
Como objetivo secundario se puede plantear la obtención de algoritmos para el
cálculo de los vecinos a partir de unos datos dados. En niveles superiores se puede
planteartambién el análisis de la complejidad de los algoritmos obtenidos y
proponer la búsqueda de algoritmos eficientes.
En las siguientes secciones se abordan diferentes problemas y soluciones
relacionados con la cuestión anterior con el ánimo de que sirvan de fuente de
inspiración para el profesor.
1 La solución urgente: el vecino más próximo
Empezaremos con el caso más sencillo. Aquél en el...