SOCIEDAD

RELACIONES Y FUNCIONES


PAREJAS ORDENADAS

Una pareja ordenada se compone de dos elementos “ x ” y “ y ”, escribiédose  x, y 



donde
“ x ” es el primer elemento y “ y ” el Segundo elemento. Teniédose que dos parejas
Ordenadas  x, y  y  z, w
Serán iguales si x  z
y y  w .


Definición:


El producto de dos conjuntos A y B (se simbolia AxB ) es elconjunto de todas las parejas ordenadas x, y  , tales que “ x ” pertenece al primer conjunto A y “ y ” pertenece

al segundo conjunto B , es decir:
AxB   x, y  x ∈ A, y ∈ B




Nota: Se da por hecho, que se recuerda el conjunto de los números reales  y su representación sobre una línea recta, así como los intervalos de números reales:



Con los conjuntos:



A  1,2,3 yB  a, b, obtener los productos AxB y BxA


Solución

Si el conjunto A tiene 3 elementos y el conjunto B tiene 2 elementos,
Entonces el producto cartesiano AxB y el BxA tendrán 3x2  6
(Parejas ordenadas).

AxB  1, a , 1, b, 2, a, 2, b, 3, a , 3, b

BxA  a,1, a,2, a,3, b,1, b,2, b,3
Elementos

Véase que
AxB ≠ BxA, esto es, elproducto cartesiano no es conmutativo

2) Sean los intervalos abiertos productos cartesianos AxB y BxA .
A  1,3 y
B  2,4
subconjuntos de \ , obtener los

Solución

En este caso el conjunto



A  1,3 , corresponde al intervalo abierto de todos los números
reales comprendidos entre 1 y 3, y el conjunto
B  2,4 , corresponde también al intervalo
abierto de todos losnúmeros reales entre 2 y 4, por consiguiente, AxB y BxA tendrán un número infinito de elementos (parejas ordenadas) y sólo los representaremos gráficamente como se muestra a continuación, representando los elementos del primer conjunto sobre el eje horizontal y los del segundo sobre el eje vertical.



Obsérvese que las líneas punteadas indican que no se incluye la frontera de la región querepresenta AxB y BxA , por ser intervalos abiertos de números reales, que no incluyen los extremos del intervalo tanto el conjunto A como el B .


Sean
BxA
A  X 2,3 y
B  2,4
subconjuntos de , obtener el producto cartesiano AxB y


Solución

En los intervalos
A  − 2,3 y
B  2,4, el corchete indica que se debe incluir el extremo de
dicho intervalo, por lo que en lasgráficas que indican este producto cartesiano, si se incluye la frontera donde es cerrado dicho intervalo, como se muestra a continuación:





4) Para
BxA
A  x ∈ \ /1  x  5 y
B   y ∈ \ / − 1  y ≤ 2 , obtener el producto cartesiano AxB y

Solución

El conjunto A y B es otra forma de representar a los intervalos de estos conjuntos de
números reales, lo cual es
A  x ∈ \ /1 x  5  1, 5 y
B   y ∈ \ /− 1  y ≤ 2   −1, 2 .





5) El producto cartesiano
\x\ genera todo el plano cartesiano, donde cada punto “ P ” del
plano representa un par ordenado  x, y 
de números reales, trazando una recta vertical por
el punto “ P ” hasta cortar al eje horizontal en “ x ” y una recta horizontal por “ P ” hasta cortar al eje vertical en “ y ”.


Solución1) Sea
A  − 2,0,3,7 y
B  1, 2, 3 , obtener el producto cartesiano AxB y BxA y dibujar su
gráfica.

2) Sea T  1, 2, 3, 4, 5 y



S  1, 2 , obtener el producto cartesiano TxS y SxT y graficarlos.


3) Con
A  − 1,2 y
B  − 3,2 subconjuntos de \ , obtener el producto cartesiano AxB y
BxA y graficarlos.
4) Si
K  x ∈ \ / − 3 ≤ x  1 y
J   y ∈ \ /1.5  y 5.5 , obtener el producto cartesiano KxJ y
JxK .

5) Con \ y



A  2,4 , obtener



\xA y Ax\ .



1.2. RELACIONES

Variable es costumbre representarla mediante alguna de las últimas letras del alfabeto, con la característica de que puede sustituirse en su lugar cualquier número real.

Constante es un valor real que permanece fijo en cualquier problema de aplicación...