Socio

Cálculo Diferencial
Problemas de máximos y mínimos

Tarea Individual 1
Obtener dos números cuyo producto sea de 512, y la suma del doble del primero más el segundo sea mínimo.
Tenemos laprimera ecuación:
xy = 512
La segunda ecuación es:
2x+y = m
Despejando el valor de y en la segunda ecuación queda:
y = m-2x
Sustituyendo el valor de y en la primera ecuación queda:
x(m-2x)= 512Despejando m que representa el valor mínimo
m = 512/x+2x
Nuestro intervalo en relación de los valores que puede tomar y y x son de [0,512] y representan el valor mínimo y máximo respectivamente.
Paraobtener el punto crítico debemos derivar y nos queda de la siguiente forma:
m = 512/x+2x
m’ = -512/x^2 +2 ; simplificando nos queda m’ = (-512+2x^2)/x^2
Igualando a 0 la primera derivada dem’
0 = (-512+2x^2)/x^2
el valor que divide al cambiarlo del otro lado de la igualdad y multiplicarlo por 0 se elimina por lo que nos queda la solamente la ecuación
2x2-512 = 0, despejando x nosqueda la ecuación: x =±√(512/2)
Resultado el valor de x1= 16 y x2 = -16. Dado que tenemos dos valores para x, nuestro intervalo solo comprende los valores [0,512] por lo que descartamos el valor dex2= -16. Evaluamos utilizando la primera derivada, antes y después del valor critico
m’(15) = (-512+2〖(15)〗^2)/〖15〗^2 = - 0.275 La pendiente es negativa
m’(17) = (-512+2〖(17)〗^2)/〖17〗^2 =0.228 La pendiente es positiva
La función es decreciente antes de x=16 y es creciente después de x=16 por lo que se concluye que en x= 16 se logra el valor mínimo.
Por ultimo para encontrarel valor de y sustituimos el valor de x=16 en la primera ecuacion y encontrando el valor de y
xy=512; y = 512/16 ; y = 32


Imagina que deseas construir una caja rectangular con unapieza de cartón que mide 32 cm. de largo por 20 cm. de alto. Para poder doblar los lados, has decidido cortar cuadros de igual tamaño en cada una de las cuatro esquinas, como se muestra en la figura....