Sol Integrales

Integrales
1.- Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
a) F(x) 



x2
x

e  t (sent  cos t)dt

b) G(x) 



x3
0

senx cos tdt .

2. a) Estudiar la convergencia y, cuando sea posible, calcular las siguientes
integrales:



dx
1 x 2
1

3

dx

 3  x
2

2

b) Estudiar la convergencia y, en su caso, calcular el valor de la integral y el

área encerrada entre la función f(x) x
4  x2

y el eje de abscisas (OX) en

el intervalo [-2,2].
3.- Hallar el área de la región contenida entre las curvas:

y1 

1
1
, y2  3
:
x 1
x  x
2

a) En el intervalo [2,3]
b) Para x 3

 1 1
4.- Calcular   , 
2 2

 1
y  
2

5.- Analizar el carácter de las siguientes integrales impropias
a) 



1

senx
dx
xp

con p > 0

b) 



1

senx cos x
dx
x3

c) 


0

1
dx
1  x x

6.- Dada la función f(x)  2x 1  x 2 se pide:
a) Área encerrada por la función y el eje de abscisas
b) Volumen engendrado al girar la curva alrededor del eje de abscisas
7.- Hallar la longitud de las siguientes curvas, dadas en coordenadas polares.
a) r 2  3sen  2 
b) r  2sen  3 

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 x(t)  3  2 cos t
8.- Calcular elárea encerrada dentro de la curva 
 y(t)  2  5sent

9. Dos alumnos de la Escuela sostienen una cinta por sus extremos, a la misma
altura. La cinta describe una curva que se denomina catenaria, y cuya ecuación
x
es: y  c cosh  
c
Calcular la longitud de la cinta hasta un cierto valor de la abscisa x.

c
O
x

10.- Un depósito esférico de 50 m de radio está al 21,6 % de su capacidad
¿Cuál esla profundidad del agua?
11.- Hallar el volumen del sólido cuya base es la región limitada por el eje x y el
arco de curva y=senx entre x = 0 y x =  y cuyas secciones planas
perpendiculares al eje x son cuadrados con base en la región.
12.- Calcular la longitud y el área encerrada por la curva:
cos(t)[2  cos(2t)]

 x(t) =
4

 y(t) = sen(t)[2  cos(2t)]

4
13.- Dada la hipérbola x 2  y2 1 . Hallar:
a) El área encerrada por la hipérbola y la recta que pasa por su foco de abscisa
positiva.
b) El área encerrada por la hipérbola y su asíntota siendo x  1.
c) La superficie de revolución del casquete hiperbólico formado al girar la
hipérbola respecto del eje X siendo x  1, 2  .

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 x(t)  a(t  sent)
14.- Para unarco de cicloide 
. Se pide:
 y(t)  a(1  cos t)
a) El área encerrada por la curva y el eje de abscisas.
b) La longitud.
c) El volumen engendrado por la rotación del área encerrada por la curva
y el eje X alrededor del eje OX.
d) El volumen engendrado por la rotación del área encerrada por la curva
y el eje X alrededor del eje OY.
e) La superficie de revolución del cuerpo formado al girar unarco de la cicloide
respecto del eje X.
15.- Para la cardioide de ecuación r =1 + cosα. Se pide:
a) El área encerrada por la curva y el eje de abscisas.
b) La longitud.
c) El volumen engendrado por la rotación del área encerrada por la curva y el eje
X alrededor del eje OX.
d) La superficie de revolución del cuerpo formado al girar la curva respecto del eje
X.
16.- Determinar la curva que pasa por elpunto (4π2,1) y cuya pendiente, en
cos x
cada punto (x,y), tal que x>0, es
.
x
17.-

Hallar

el

valor

de



que

cumpla

que

2

 f(x)

dx =2,

siendo

0

si 0  x  1
3
¿Existe algún punto c del intervalo [0,2] tal que
f(x)= 
si 1  x  2
5
f(c)=? ¿Contradice esto el teorema del valor medio integral?

18.- Dadas las funciones f(x)=sen(2x) y g(x)= tgx, se pide:
a) Hallar los puntos deintersección de dichas funciones entre -/2 y /2.
b) Hallar el área de la región limitada por dichas funciones entre los puntos de
corte hallados en el apartado anterior.

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19.- Dada la función f(x) =

x  3x 2  2
, cuya gráfica es la de la figura, se
x 3  x2  2
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pide:

a) Calcular el área encerrada por f(x), x = -2 y el...