Sol MATEM UNI20115II C

Solucionario

2015  -II

Examen de admisión

PREGUNTA N.o 1
1
1
4
+
=
3 x − 2y 2 x + 3y 5 x + y




Operamos

x + 2y
es
2x − y

7
A)
9

B) 1

D) 2

Matemática

Reemplazamos
1 1
4

+ =
a b a+b
4
a+b

=
ab
a+b

Sea {x, y} ⊂ R de modo que

El valor de

Matemát

C)

9
7



a2 – 2ab+b2=0



(a – b)2=0 → a=b

Volvemos a las variables iniciales.

19
E)
7



3x – 2y=2x+3y



→ x=5yNos piden

Resolución
Tema: Productos notables



5 y + 2y
7y
x + 2y
=
=
2 x − y 2 (5 y ) − y 9 y

∴

x + 2y 7
=
2x − y 9

Tenga en cuenta que
• a2 – 2ab+b2=(a – b)2
• x2=0 si x=0

Respuesta
7
9

Análisis y procedimiento
En la igualdad


1
1
4
+
=
3 x − 2y 2 x + 3y 5 x + y

PREGUNTA N.o 2
Una raíz de ecuación x4+mx2 – 2(m+2) es el triple
de otra raíz, entonces uno de los valores de m esConsideramos


3x – 2y=a



2x+3y=b




→ 5x+y=a+b

1

A) – 26
B) – 25
D) – 15

C) – 20
E) – 10

unI 2015 -II

Academia CÉSAR VALLEJO

Resolución
Tema: Ecuación bicuadrada
En la ecuación




 2 − x + 2; − 2 ≤ x ≤ 2
A) f * ( x ) = 
 6 − x + 4; 2 ≤ x ≤ 6



 x − 4 + 2; 0 ≤ x ≤ 4
B) f * ( x ) = 
 6 − x + 1; 4 ≤ x ≤ 6



 1 − x + 2; 0 ≤ x ≤ 1
C) f * ( x ) = 
 3 − x +4; 1 ≤ x ≤ 3



1

 5 x − 1 + 2; 0 ≤ x ≤ 5
D) f * ( x ) = 
1
 3− x
; ≤x≤3

5



 2 − 2 − x ; − 2 ≤ x ≤ 2
E) f * ( x ) = 
4 − 6 − x ; 2 ≤ x ≤ 6

ax4+bx2+c=0;  abc ≠ 0

las raíces toman la siguiente forma:
a;  – a; b;  – b
Análisis y procedimiento
Tenemos


x4+mx2 – 2(m+2)=0



x2



2

x      m+2



( x 2 − 2) ( x 2 + m + 2) = 0

– 2

→ x2=2  ∨  x2= – m – 2
→ x = ± 2  ∨  x = ±−m − 2

donde f * es la inversa de la función f.

Por dato, una raíz es el triple de la otra raíz.

Resolución
Tema: Función inversa

Entonces consideramos



3 2 = −m − 2 ∨
18= – m – 2

∴ m= – 20 ∨ m =

Sea f una función. Si tiene inversa se denota por
f * y se cumple que

2 = 3 −m − 2
2=9 (– m – 2)

• y=f(x) ↔ f *(y)=x
• Domf *=Ranf

−20
9

Análisis y procedimiento
Como
− ( x − 2) 2 + 2; 0≤ x ≤ 2
f (x) = 
2
− ( x − 4 ) + 6; 2 ≤ x ≤ 4


Respuesta
– 20

determinemos la inversa para cada subregla:

PREGUNTA N.o 3

I) Sea
y=– (x – 2)2+2; – 0 ≤ x ≤ 2
(x – 2)2=– y+2

Sea f una función definida por
− ( x − 2) 2 + 2; 0 ≤ x ≤ 2
f (x) = 
2
− ( x − 4 ) + 6; 2 ≤ x ≤ 4



Determine la función inversa de f.



2

( x − 2) 2 = 2 − y
x − 2 = 2−y

unI 2015 -II

Solucionario deMatemática

Como 0 ≤ x ≤ – 2 → – 2 ≤ x – 2 ≤ 0, se tiene que


−x + 2 = 2 − y



x = 2− 2−y

Respuesta
 2 − 2 − x ; − 2 ≤ x ≤ 2
f *(x) = 
4 − 6 − x ; 2 ≤ x ≤ 6

→ f * ( x ) = 2 − 2 − x

PREGUNTA N.o 4

Hallemos Dom( f *)

Señale al alternativa que presenta la secuencia
correcta, después de determinar si la proposición
es verdadera (V) o falsa (F).
I. Toda recta en el plano XY representa a unafunción lineal.
II. Toda función f: A → B sobreyectiva es una
función inyectiva.
III. Si f ⊂ A×B es una relación tal que para cada
par (x, y); (x, z) ∈ f implica y=z. Entonces f
es una función inyectiva.

Por dato: 0 ≤ x ≤ 2


– 2 ≤ x – 2 ≤ 0



0 ≤ (x – 2)2 ≤ 4



0 ≥ – (x – 2)2 ≥ – 4
2
2 ≥ − ( x − 2) + 2 ≥ −2




f (x)

f(x) ∈ [– 2; 2]=Ranf

→ Domf *(x)=[– 2; 2]







II) Seay=– (x – 4)2+6; 2 ≤ x ≤ 4




(x – 4)2=6 – y

( x − 4)2 = 6 − y
x−4 = 6−y

Resolución

Como 2 ≤ x ≤ 4 → – 2 ≤ x – 4 ≤ 0


Tema: Funciones
Recuerde que
• Una función lineal es aquella cuya regla de
correspondencia es f(x)=ax+b; a ≠ 0.
• Una función f: A → B es sobreyectiva si
Ranf=B.
• Al gráfico de una función inyectiva, cualquier
recta horizontal lo corta a lo más en un punto.

→ – x+4= 6 − yx=4 − 6 − y


→ f * ( x ) = 4 − 6 − x

Hallemos Dom( f *)


2≤x≤4



– 2 ≤ x – 4 ≤ 0



0 ≤ (x – 4)2 ≤ 4



0 ≥ – (x – 4)2 ≥ – 4



6 ≥ − (x − 4) + 6 ≥ 2

Análisis y procedimiento
I. Falsa
No toda recta en el plano XY representa una
función lineal. Por ejemplo, la función f(x)=2
representa una recta horizontal, pero no es una
función lineal.

2

f (x)



A) VVV
B) VVF
C)...