Sol mates

1
Página 27 El paso de
■

NÚMEROS REALES

REFLEXIONA Y RESUELVE

ZaQ

Di cuáles de las siguientes ecuaciones se pueden resolver en Z y para cuáles es necesario el conjunto de los números racionales, Q. a) –5x = 60 d) 6x – 2 = 10 b) –7x = 22 e) –3x – 3 = 1 c) 2x + 1 = 15 f) –x + 7 = 6

Se pueden resolver en Z a), c), d) y f). Hay que recurrir a Q para resolver b) y e).

El paso de
■QaÁ
b) 5x 2 – 15 = 0 e) 7x 2 – 7x = 0 c) x 2 – 3x – 4 = 0 f) 2x 2 + 3x = 0

Resuelve, ahora, las siguientes ecuaciones: a) x 2 – 9 = 0 d) 2x 2 – 5x + 1 = 0 a) x 2 – 9 = 0 8 x = ±3 b) 5x 2 – 15 = 0 8 x 2 = 3 8 x = ± √3 c) x 2 – 3x – 4 = 0 8 x = 3 ± √9 + 16 3±5 = = 2 2 5 ± √17 5 ± √25 – 8 = = 4 4
—

4 –1 5 + √17 — 4— 5 – √17 — 4
—

d) 2x 2 – 5x + 1 = 0 8 x =

e) 7x 2 – 7x = 0 8 x 2 –x = 0 8 x = 0, x = 1 f) 2x 2 + 3x = 0 8 x (2x + 3) = 0 8 x = 0, x = – 3 2

Unidad 1. Números reales

1

Números irracionales
■

Demuestra que √2 es irracional. Para ello, supón que no lo es: √2 = al cuadrado y llega a una contradicción.

p . Eleva q

Supongamos que √2 no es irracional. Entonces, se podría poner en forma de fracción:

√2 =

p p2 8 2 = 2 8 p 2 = 2q 2 q q

En p 2,el factor 2 está un número par de veces (es decir, en la descomposición de factores primos de p 2, el exponente de 2 es par). Lo mismo ocurre con q 2. Por tanto, en 2q 2 el exponente de 2 es un número impar. De ser así, no se podría cumplir la igualdad. Suponiendo que √2 = p llegamos a una contradicción: q

“p 2 = 2q 2, pero p 2 no puede ser igual a 2q 2”. Por tanto, √2 no puede ponerse enforma de fracción. No es racional.

■

Obtén el valor de F teniendo en cuenta que un rectángulo de dimensiones F : 1 es semejante al rectángulo que resulta de suprimirle un cuadrado. 1 F–1

F

F 1 = 8 F(F – 1) = 1 8 F2 – F – 1 = 0 1 F–1 1 ± √1 + 4 = 2 1 + √5 — 2 — 1 – √5 — (negativo) 2
—

F=

Como F ha de ser positivo, la única solución válida es F =

√5 + 1
2

.

2

Unidad 1.Números reales

UNIDAD

1

Página 28
1. Sitúa los siguientes números en el diagrama:

√3 ; 5; –2; 4,5; 7, 3; – √6 ; √64 ; √–27 ; √–8 Á Q

)

3

3

Z

N

Á
— √3
3 — – √6

Q
4,5

) 7,3

Z
–2
3

N

— √ –8

— √–27 = –3

5 — √ 64 = 8

2. Sitúa los números del ejercicio anterior en los siguientes casilleros. Cada número puede estar en más de una casilla.NATURALES, ENTEROS,

N Q

Z

RACIONALES, REALES,

Á

NO REALES

Añade un número más (de tu cosecha) en cada casilla.
NATURALES, ENTEROS,

N Q

5; √ 64 5; –2; √ 64; √ –27
— 3—

—

Z

RACIONALES, REALES,

5; –2; 4,5; 7, 3; √ –27; √ 64

)

3

—

—

Á

√ 3; 5; –2; 4,5; 7,3; –√6; √ 64; √ –27 √ –8
—

—

)

3

—

—

3

—

NO REALES

Unidad 1. Númerosreales

3

Página 29
3. Representa los siguientes conjuntos: a) (–3, –1) b) [4, + @) –1 0 3 6 9 c) (3, 9] d) (– @, 0) 0 4 0

a) c)
0

–3

b) d)

4. Representa los siguientes conjuntos: a) { x / –2 Ì x < 5} c) (– @, 0) « (3, +@) b) [–2, 5) « (5, 7] d) (– @, 1) « (1, + @) 5 3

a) c)

–2

0 0

b)

–2

0 0 1

5

7

d)

Página 30
1. Halla los siguientes valores absolutos:a) |–11| d) |0| g) |1 – √2 | a) 11 d) 0 f) |3 – √2 | = 3 – √2 h) | √2 – √3 | = √3 – √2 b) |π| e) |3 – π| h) |√2 – √3 | b) π c) |– √5| f) |3 – √2| i) |7 – √50 | c) √5 e) |3 – π| = π – 3 g) |1 – √2 | = √2 – 1 i) |7 – √50 | = √50 – 7

2. Averigua para qué valores de x se cumplen las siguientes relaciones: a) |x| = 5 d) |x – 4| Ì 2 a) 5 y –5 c) 6 y 2 e) x < 2 o x > 6; (–@, 2) « (6, +@) b) |x| Ì 5e) |x – 4| > 2 c) |x – 4| = 2 f ) |x + 4| > 5

b) – 5 Ì x Ì 5; [–5, 5] d) 2 Ì x Ì 6; [2, 6] f) x < – 9 o x > 1; (–@, –9) « (1, +@)

4

Unidad 1. Números reales

UNIDAD

1

Página 31
1. Simplifica: a) √x 9 d) √8 a) √ x 9 = √ x 3 c) √y 10 = y2 e) √ 64 = √ 26 = √ 22 = √ 4
9 9 3 3 5 12 4 6 12

b) √x 8 e) √64
12 3 9

12

c) √y 10 f) √81 b) √x 8 = √ x 2 d) √ 8 = √ 23 = √ 2 f ) √...