[SOL] Trigonometría Anaya. MATEMÁTICAS B, 4º ESO

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Soluciones a las actividades de cada epígrafe
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Los chicos del dibujo deben medir los 35 árboles de una parcela horizontal. Para ello, proceden así:
• Clavan en el suelo una estaca vertical que sobresale 160 cm.
• A continuación, corren a señalar los extremos de las sombras de los
35 árboles y de la estaca.
• Una vez señalados, proceden, ya sin prisas, a medirlas y a anotarlas
medidas. Estos son algunos resultados:

1

LA SOMBRA DE

E S TA C A

CEREZO

CIPRÉS

CHOPO

MIDIÓ

82 cm

1,23 m

2,61 m

4,3 m

Razona que la estaca y su sombra forman un triángulo rectángulo.
¿Ocurre lo mismo con cada árbol y su sombra?

ESTACA

La estaca es vertical y el suelo es horizontal. La sombra
se proyecta sobre el suelo. Por tanto, la estaca y su sombra son los catetos de un triángulorectángulo.
Lo mismo ocurre con cada árbol y su sombra (los árboles hay que idealizarlos para considerarlos como segmentos verticales).
SOMBRA DE
LA ESTACA

2 ¿Por qué se han de dar prisa en señalar los extremos de las sombras?
Razona que todos los triángulos descritos son semejantes.
Hay que señalar las sombras muy deprisa para que no les afecte el movimiento del
Sol. Para que los triángulossean semejantes, hay que medir todas las sombras en
el mismo instante.

3 Calcula las alturas del cerezo, el ciprés y el chopo, aproximándolas hasta los
decímetros.
En la estaca, 160 : 82 = 1,9512… = t. Este es el número por el que hay que multiplicar la sombra para obtener la longitud de la estaca.
Por ser los triángulos semejantes, si en los demás se multiplica la sombra por ese
número, se obtienela longitud del árbol correspondiente:
CEREZO
CIPRÉS
CHOPO

8
8
8

SOMBRA
SOMBRA

· t = 2,61 · t = 5,09 m (altura del ciprés)

SOMBRA

Unidad 7. Trigonometría

· t = 1,23 · t = 2,4 m (altura del cerezo)
· t = 4,3 · t = 8,39 m (altura del chopo)

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ANTES DE COMENZAR, RECUERDA

1

Dibuja un triángulo de lados 3 cm, 4 cm y 5 cm. Esrectángulo porque sus
lados verifican el teorema de Pitágoras (32 + 42 = 52). Traza la altura sobre la
hipotenusa. Demuestra que los dos pequeños triángulos en que se divide el
grande son semejantes entre sí.
ൺ

ൺ

ൺ

ൺ

B

• ABC es semejante a ABH por com^
partir el ángulo A .

3 cm

4 cm

• ABC es semejante a BHC por tener
^
en común el ángulo C .

H
A

ൺ

C

5 cm
ൺ

Se concluye, pues, que ABH essemejante a BHC .

2 Observa cómo calcula Leticia la altura de una morera que proyecta una sombra de 5,7 m a la luz de una farola de altura desconocida:
a) Altura de Leticia = 1,68 m
Sombra de Leticia = 1,5 m
d = 2,9 m
Con esto se calcula la altura de la farola.
b)Conociendo la altura de la farola y la
sombra de la morera, 5,7 m, y midiendo la distancia de la farola a la morera,
2 m, se calcula laaltura de la morera.
d

Resuelve los apartados a) y b) descritos en la situación anterior.
a) Si h es la altura de la farola, por la semejanza de triángulos:
h = 1,68 8 h = 1,68 8 h = 3,248 m mide la farola.
d
1,5
2,9
1,5
b) hm 8 altura de la morera:
h = 3,248 m

hm
5,7 m

5,7 = 5,7 + 2
3,248
hm

Unidad 7. Trigonometría

2m

8 hm = 2,40 m mide la morera.

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1

Dibuja sobre un ángulo como el anterior, 34°, un triánguo rectángulo mucho
más grande. Halla sus razones trigonométricas y observa que obtienes, aproximadamente, los mismos valores.
B

sen 34° = BC = 35 = 0,56
AB 62
cos 34° = AC = 51 = 0,82
AB 62

62 mm

35 mm

tg 34° = BC = 35 = 0,68
AC 51
A

C

51 mm

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2

Utilizando el anterior aparato y untransportador de ángulos, calcula el seno y
el coseno de 10°, 20°, 30°, 40°, 50°, 60°, 70° y 80°, y la tangente de aquellos
que puedas.

0,5

O

0,5

sen 10° = 0,18, cos 10° = 0,98, tg 10° = 0,18
sen 20° = 0,34, cos 20° = 0,94, tg 20° = 0,37
sen 30° = 0,5, cos 30° = 0,86, tg 30° = 0,58

Unidad 7. Trigonometría

U

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sen 40° = 0,64,
sen 50° = 0,76,
sen...