Soldios de revolucion

“AÑO DE LA CONSOLIDACIÓN SOCIAL Y ECONÓMICA DEL PERÚ”
Universidad Cesar Vallejo - Piura

CURSO: MATEMATICA I

CICLO: 2010 – I

SECIÓN: “A”

TURNO: TARDE

PROFESOR: JORGE LUIS VIVAS GARCIA

ALUMNO: KEVIN MENDOZA LOZADA

TEMA: APLICACIONES DE SOLIDOS DE REVOLUCIÓN

FECHA: Piura, 22 de Julio del 2010

Aplicación de “Volúmenes de Sólidos de Revolución”Introducción:

Como su nombre lo dice, “Volúmenes de Sólidos de Revolución”, nos ayuda a realizar el cálculo de volumen de ciertas cosas. Partiendo por crear una línea en el plano cartesiano y hacerla girar, de tal forma que se genera la imagen a la cual queremos hallar el volumen.

Aplicación:

Los cultivadores de frutas, para poder seleccionar las frutas listas para poder ser llevadas al mercado,necesitan hacer varios exámenes, los cuales el fruto debe pasar todos para poder ser incluidas en las frutas que serán vendidas. Uno de estos exámenes que debe pasar el fruto es tener cierta cantidad de volumen por fruta, es lo que requiere el mercado internacional para comprar.

Por esa razón aplicaremos los sólidos de revolución para hallar el volumen de frutas, aunque también lasaplicaciones pueden ser diversas, de acuerdo a los volúmenes que se desea hallar, como por ejemplo con los métodos se podría hallar el volumen de los antiguos Coliseos Romanos, o también de troncos de madera, o el volumen de agua que pasa por un tubo, etc.

El método de cálculo integral que se explica, el de los casquetes cilíndricos, proporciona una forma alternativa de calcular volúmenes de sólidos derevolución. En ciertos casos es el único método viable porque el de las secciones transversales puede resultar a veces difícil de aplicar o no puede aplicarse en absoluto.

Figura 1

Piénsese, por ejemplo, en el problema de hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar sobre el eje y la región que está comprendida, en el primer cuadrante, entre la curva y = −x3 + 4x2 −3x + 1 y la vertical x = 3 (Figura 1). A primera vista puede parecer que el método más adecuado para este cálculo consiste en hacer repetidas secciones transversales horizontales del sólido −tajarlo por decirlo así− y en integrar luego los volúmenes de todos los trozos. Sin embargo, se presentan varias dificultades. La primera está en que las secciones transversales son, en unas zonas del sólido,discos completos y, en otras, arandelas, es decir, discos con hueco. Esto conduce a tener que dividir la región de integración en varias subregiones, lo que resulta algo engorroso. Pero por otra parte, para plantear la integral es necesario expresar tanto el radio de los discos como el radio interior y exterior de las arandelas en función de la variable y, lo que no es fácil de lograr en estecaso (Figura 2).

Figura 2

En cambio, el método de los casquetes cilíndricos funciona muy bien en esta situación. Básicamente consiste en dividir el sólido de revolución en una serie de casquetes cilíndricos que se incrustan unos dentro de otros y en integrar luego los volúmenes de estos casquetes para obtener el volumen total. En la Figura 3 se puede ver cómo se van agregando y se van retirandosucesivamente estos elementos y cómo se produce el sólido de revolución. Es por esto por lo que a este método se le conoce también como el método de las "capas", las "envolturas", las "envolventes" o los "cascarones" cilíndricos.

Figura3
Pero antes de entrar en detalles es importante entender bien la estructura geométrica que está involucrada en este método. Quizás resulte útil pensar enobjetos cotidianos que presentan la misma configuración.. El primero que viene a la mente es posiblemente un trozo de cebolla pues es bien conocido el hecho de que en su interior los tejidos de un trozo de este vegetal están dispuestos en una serie de capas más o menos cilíndricas que, cuando se cortan transversalmente y se sirven en las ensaladas, forman los característicos "anillos" de la...