Sole1148

UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
HPV/EGG/hpv.

Evaluación N◦ 1 Cálculo II
527148.
1. Dada la función f : R → R, f(x) = xex , exhiba, siexisten:
a) un punto de extremo absoluto (máximo o mínimo).
b) un punto de inflexión.
c) un intervalo donde el gráfico de f sea creciente.
d) asíntotas del gráfico.
Solución.a) ∀x ∈ R : f ′ (x) = ex +xex = ex (x + 1)
Luego, f es decreciente para x < −1 y creciente para x > −1,lo que implica
que x = −1 es un punto de mínimo absoluto.
(4 puntos)
b) ∀x ∈ R : f ′′ (x) = 2ex + xex = ex (x + 2)
Lasegunda derivada cambia de signo, de negativo a positivo, en x = −2; por
tanto el punto (−2, −2e−2 ) es un punto de inflexión.
(4 puntos)
c) Según se vio en item a), f es creciente en el intervalo ]−1,+∞[
(3 puntos)
d) f es continua en todo R, por tanto no hay asíntotas verticales. Además
x
1
= l´ım
= l´ım (−ex ) = 0
−x
x→−∞ e
x→−∞ −e−x
x→−∞
= +∞

l´ım xex =

x→−∞

l´ım xex

x→+∞

l´ım

determina quela recta y = 0 (eje x) es asíntota horizontal (hacia −∞) y no
hay asíntotas oblicuas.
(4 puntos)

2. Se define la función "seno integral"por Si (x) =

x sin t
dt
0
t

,para x ∈ R.

a) Determineintervalos de crecimiento de la función Si, para 0 ≤ x ≤ 2π.
b) Usando el cambio de variables u = −x, demuestre que la función Si es
impar.
c) Con la información anterior y sabiendo que Si (π) = 1. 85 y Si(2π) = 1. 42,
haga un esbozo de su gráfica en el intervalo [−2π, 2π] .
Solución.a) Por TFC: Si′ (x) =
π < x < 2π

sin x
es positivo para 0 < x < π, y negativo para
x

Luego, la función es creciente en]0, π[ y es decreciente en ]π, 2π[ .
(6 puntos)
b) Usando el cambio de variables u = −t , du = −dt
x
sin t
sin (−u)
Si (−x) =
dt =
(−du)
t
−u
0
0
x
sin u
du = − Si (x)
= −
u
0
−x

(3 puntos)

c)Usando la información anterior

y

-6

-5

-4

-3

-2

1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2

-1 -0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
-1.2
-1.4
-1.6
-1.8

1

2

3

4

5

6

x

(6 puntos)

3. Determine si las...