SolEFEDSS13

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
Escuela de Matemáticas
Segundo Semestre Académico 2013
Examen final de ECUACIONES DIFERENCIALES (código 20255)
(todos los grupos)
Lunes 21.04.14, 12:00 m.Soluciones a los puntos del examen (para uso de los calificadores)

(1) Un paciente hipoglicémico elimina glucosa a una tasa proporcional a la cantidad de la
sustancia presente en su organismo en el momentodado. A fin de compensarlo, en el
instante
, cuando la cantidad de glucosa presente en su cuerpo es
, se le comienza a
inyectar glucosa a razón de a unidades por minuto.
a) Determine la cantidad
deglucosa en el cuerpo en cualquier momento t.
b) Si la cantidad máxima de glucosas que el cuerpo del paciente tolera es
, siendo
¿con qué velocidad a se le debe suministrar la glucosa al paciente a finde
garantizar su seguridad aunque la enfermera se duerma?

Solución. Sean

las velocidades con que se inyecta la glucosa y con que el

cuerpo del paciente la elimina, respectivamente. Entonces
en dondek
es una cierta constante positiva conocida. La diferencia entre esas dos velocidades nos da la
tasa a la cual la cantidad x de glucosa en el organismo varía con el tiempo:
.
De aquí obtenemos

eintegrando,
siendo

de donde

una constante positiva. Si

tenemos

Pero es obvio que, a fin de compensar la pérdida natural de glucosa
por el paciente, la tasa de variación al estar inyectándole lasustancia,
positiva. Es decir,

sea

de donde

debe ser

Debemos pues tomar

Aplicando aquí la condición inicial

,
tenemos

. Así pues,
, de donde finalmente obtenemos
,
que es una función estrictamentecreciente pero acotada por la recta
(ver gráfica).
Entonces, con el propósito de que x nunca supere la cantidad máxima tolerable , la

enfermera debe asegurarse de que
de la glucosa que inyecta demodo que

Es decir, debe regular la velocidad de entrada a
y así podrá dormirse tranquilamente. ■

(2) Se trata de modelar el ascenso de una nave que se lanza verticalmente hacia arriba
mediante un...