Solemne 2 T3 2014

Segunda Solemne.
Tópicos de Matemáticas.
Nombre:

Rut:

Indicaciones:
Ψ No está permitido el uso de libros ni apuntes.
Ψ No se admiten consultas relacionadas con la materia.
Ψ Debe desarrollar cada pregunta en la hoja correspondiente, no se aceptan hojas anexas.
Ψ Preguntas incompletas y/o con desarrollo incoherente serán evaluadas con menor puntaje.
Ψ Debe resolver los ejercicios utilizando loscontenidos vistos en clases.
Ψ El uso de cualquier aparato tecnológico durante el desarrollo de la evaluación ser’a sancionado con la nota
mínima.
Ψ Duración 90 minutos.

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

NOTA

Puntaje

Puntaje
recorregido

DECLARO HABER REVISADO LA EVALUACIÓN Y ESTAR DE ACUERDO
CON LA CALIFICACIÓN

Día

Mes

NOTA

Año

Firma Estudiante

1

Pregunta 1 (Razón de Cambio).
Unrecipiente tiene 10 pies de largo y tiene una sección transversal con forma de triángulo equilátero de 2
pies de lado. Sí se está introduciendo agua a una tasa de 20 pies cúbicos por minuto, ¿con qué rapidez esta
subiendo el nivel del agua cuando el agua tiene 1 pie de profundidad?

Pregunta 2 (Optimización).
A las 9:00 de la mañana un barco mercante se encuentra a 65 millas en dirección este de uncrucero. Si el
barco mercante navega hacia el oeste a 30 millas por hora y el crucero viaja hacia el norte a 20 millas por
hora, ¿en qué momento se encuentra más próximos los barcos?

Pregunta 3 (Primitivas).
Para un grupo urbano particular, algunos sociólogos estudiaron el ingreso anual promedio actual y(en dólares)
que una persona con x años de educación puede recibir al buscar un empleoordinario. En el estudio se estimo
que la razón a la que cambia el ingreso con respecto a la cantidad de años de educación de una persona está
dada por:
√
dy
= 5 x5 − x, 2 ≤ x ≤ 20
dx
Determine el ingreso de una persona que tiene 16 años de estudios, si se sabe que los ingresos de una persona
con 9 años de educación es y = 20000 dólares.

Pregunta 4 (Métodos de Integración).
Calcule las siguientesintegrales:
1.

x2 e2x dx.

2.

ln3 (x)
dx.
x

2

PAUTA
Observación. La solución de los siguientes problemas puede no ser única. Si encuentra algún «Herror»
favor comuniquelo vía email.
Solución Pregunta 1 (Razón de Cambio).
Un recipiente tiene 10 pies de largo y tiene una sección transversal con forma de triángulo equilátero de 2
pies de lado. Sí se está introduciendo agua a una tasa de 20 pies cúbicospor minuto, ¿con qué rapidez esta
subiendo el nivel del agua cuando el agua tiene 1 pie de profundidad?
Solución. primero realicemos un bosquejo del recip- De lo anterior obtenemos:
iente.
x
h
1
√ = ⇒x= √
h
3
3
Por lo tanto el volumen de agua dentro del recipi10h2
ente esta dado por V = 10xh = √ . Así al derivar
3
implicitamente obtenemos:
si consideramos la sección transversal del recipientecuando el nivel del agua es de h pies.

dV
20h dh
= √
dt
3 dt
De lo anterior podemos deducir que la rapidez con la
que sube el nivel del agua cuando el agua tiene 1 pie
de profundidad es:
dh
dt

=

√

3

h=1

Solución Pregunta 2 (Optimización).
A las 9:00 de la mañana un barco mercante se encuentra a 65 millas en dirección este de un crucero. Si el
barco mercante navega hacia el oeste a 30 millas porhora y el crucero viaja hacia el norte a 20 millas por
hora, ¿en qué momento se encuentra más próximos los barcos?
Solución. Observe que en un instante t se tiene la es mínima. Por otro lado:
siguiente situación:
f (t) = 2(−30)(65 − 30t) + 2(20)(20t)
= 1300 (2t − 3)
f (t) = 2600
De lo anterior se deduce que el único punto crítico es
3
3
= 2600 > 0 Por lo tanto la
De lo anterior se deduce que ladistancia que separa t = , además: f
2
2
2
2
los barcos es D(t) = (65 − 30t) + (20t) . Por lo
3
tanto para determinar la distancia mínima, en nece- distancia es mínima entre los barcos si t = 2 , es decir
sario minimizar la función f (t) = (65 − 30t)2 + (20t)2 la distancia en mínima a las 10:30.

3

Solución Pregunta 3 (Primitivas).
Para un grupo urbano particular, algunos sociólogos estudiaron...