Solido De Revolucion

Sólido de revolución
Un volumen con forma de toro se obtiene por la rotación de un círculo.
Se denomina sólido de revolución o volumen de revolución, al sólido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no intersecarse. Dicha recta se denomina eje de revolución.
Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Si la regiónR indicada en la figura rota alrededor del eje X, está genera un sólido de revolución cuyo volumen tratamos de determinar.
Rotaciones alrededor de los ejes cartesianos
El volumen de los sólidos generados por revolución alrededor de los ejes cartesianos se pueden obtener mediante las siguientes ecuaciones cuadráticas.
Rotación paralela al eje de abscisas (Eje x)
El volumen de un sólidogenerado por el giro de un área comprendida entre dos gráficas, f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a,b] alrededor de un eje horizontal, es decir, una recta paralela al eje OX de expresión y=K siendo K constante, viene dado por la siguiente fórmula genérica

En particular, si se gira una figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OX, el volumen del sólido de revoluciónviene generado por la fórmula:
método de discos.
Rotación paralela al eje de ordenadas (Eje y)
Éste es otro método que permite la obtención de volúmenes de sólidos generados por el giro de un área comprendida entre dos gráficas cualesquiera, f(x) y g(x), en un intervalo [a,b] alrededor de un eje de revolución paralelo al eje de ordenadas cuya expresión es x=K siendo K constante positiva. Lafórmula general del volumen de estos sólidos es:

Esta fórmula se simplifica si giramos la figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OY, ya que el volumen del sólido de revolución viene generado por:
Método de cilindros o capas
LONGITUD DE UN ARCO
En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o caminorecorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.
Métodos modernos
Al considerar una curva definida por una función y su respectiva derivada queson continuas en un intervalo [a, b], la longitud s del arco delimitado por a y b es dada por la ecuación:
(1)
En el caso de una curva definida paramétricamente mediante dos funciones dependientes de t como e , la longitud del arco desde el punto hasta el punto se calcula mediante:
(2)
Si la función esta definida por coordenadas polares donde la coordenadas radial y el ángulo polar estánrelacionados mediante , la longitud del arco comprendido en el intervalo , toma la forma:
(3)
En la mayoría de los casos, no hay una solución cerrada disponible y será necesario usar métodos de integración numérica. Por ejemplo, aplicar esta fórmula a la circunferencia de una elipse llevará a una integral elíptica de segunda especie.
Entre las curvas con soluciones cerradas están la catenaria,el círculo, la cicloide, la espiral logarítmica, la parábola, la parábola semicúbica y la línea recta.
Deducción de la fórmula para funciones de una variable

Aproximación por múltiples segmentos lineales.

Para un pequeño segmento de curva, Δs se puede aproximar con el teorema de Pitágoras.
Suponiendo que se tiene una curva rectificable cualquiera, determinada por una función , y suponiendoque se quiere aproximar la longitud del arco de curva que va desde un punto a uno . Con este propósito es posible diseñar una serie de triángulos rectángulos cuyas hipotenusas concatenadas "cubran" el arco de curva elegido tal como se ve en la figura. Para hacer a este método "más funcional" también se puede exigir que las bases de todos aquellos triángulos sean iguales a , de manera que para...