solido de revolucion

SOLIDO DE REVOLUCION PARA EL CALCULO DE VOLUMENES

Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana
alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido queresulta al girar un
triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un
rectángulo alrededor de uno de sus lados.

MÉTODO DEL DISCO:
Inicialmente la rotación será alrededorde una de los ejes coordenados 
La región limitada por la gráfica de la curva   las rectas    el eje  rota alrededor del eje . 
Se hace una partición del intervalo    para un subintervalo  setoma .
Las secciones transversales perpendiculares al eje de rotación son discos circulares de radio . Así el volumen de un disco será  de modo que   Al tomar el límite cuando la norma de la particióntiende a cero  .

METODO DE ARANDELAS:
Cuando se va a rotar una región limitada por dos curvas el sólido de revolución es hueco por dentro, las tajadas perpendiculares al eje de rotación sonahora arandelas o anillos.
Supongamos que tenemos dos curvas cuyas ecuaciones son  y  tal que las abscisas de sus puntos de intersección son  y  y que  para ; la región limitada por las dos curvas va arotar alrededor del eje . Las secciones transversales perpendiculares al eje de rotación son anillos acotados por dos círculos; cada anillo tiene un radio exterior  y un radio interior , por lo tantoel área de la sección transversal es
A(x)= 
y el volumen de cada sección transversal es  con lo cual el volumen 



MÉTODO DE CORTEZAS Ó CAPAS CILÍNDRICAS: 

Supongamos que se quiere rotar laregión limitada por la curva  y el eje  alrededor del eje 

Si se fueran a usar arandelas de espesor o ancho  se tendría que buscar con la simetría que tiene la curva con respecto a la recta x=2 ,cual es el radio exterior en función de  y cual el exterior en términos de , es decir despejar de   en términos de  resolviendo la ecuación cuadrática    lo cual me dice que .   con lo cual...