Solido en revolucion

Solido de revolución
Un sólido de revolución es un cuerpo que puede obtenerse mediante una operación geométrica de rotación de una superficie plana alrededor de una recta que se contenida en su mismo plano. En principio, cualquier cuerpo con simetría axial o cilíndrica es un sólido de revolución.
Calculo de volúmenes
Al introducir la integración, vimos que el área es solamente una de lasmuchas aplicaciones de la integral definida. Otra aplicación importante la tenemos en su uso para calcular el volumen de un sólido tridimensional.
Si una región de un plano se gira alrededor de un eje E de ese mismo plano, se obtiene una región tridimensional llamada sólido de revolución generado por la región plana alrededor de lo que se conoce como eje de revolución. Este tipo de sólidos sueleaparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos.
Existen distintas fórmulas para el volumen de revolución, según se tome un eje de giro paralelo al eje OX o al eje OY . Incluso a veces, es posible hallar el volumen de cuerpos que no son de revolución.
Método de la capa
En esta sección estudiamos unmétodo alternativo para el cálculo de un volumen de un sólido de revolución,
un método que emplea capas cilíndricas.
Para introducir el método de capas, consideramos un rectángulo representativo, donde:
= anchura del rectángulo (espesor).
h = altura del rectángulo.
p = distancia del centro del rectángulo al eje del giro (radio medio).
Cuando este rectángulo gira en torno al eje de revolución,engendra una capa cilíndrica (o tubo) de anchura . Para calcular el volumen de esta capa consideramos dos cilindros. El radio del mayor corresponde al radio externo de la capa, y el radio del menor al radio interno de la capa. Puesto que p es el radio medio de la capa, sabemos que el radio externo es p + (/2), y el radio interno es p-(/2). Por tanto, el volumen de
la capa, viene dado por ladiferencia:
Volumen de la capa = volumen del cilindro - volumen del agujero=
= 2ph = 2(radio medio)(altura)(espesor)
Usamos esta fórmula para calcular el volumen de un sólido de revolución como sigue. Suponemos que la región plana gira sobre una recta y engendra así dicho sólido. Si colocamos un rectángulo de anchura y paralelamente al eje de revolución, entonces al hacer girar la región plana entorno al eje de revolución, el rectángulo genera una capa de volumen:
V = 2 [p(y)h(y)]y
Si aproximamos el volumen del sólido por n de tales capas de anchura y, altura h( yi), y radio medio p( yi ), tenemos:
volumen del sólido =
Tomando el límite cuando n!", tenemos que:
Volumen del sólido =
Por tanto, podemos enunciar el método de capas de la siguiente forma:
Para calcular el volumen de unsólido de revolución con el método de capas, se usa una de las dos siguientes opciones:
Eje horizontal de revolución:
Eje vertical de revolución:
Para hallar el volumen de un sólido por el método de capas, se procede como se indica a continuación.
1. Esbozar la región plana que va a ser girada, hallando los puntos de intersección de las curvas que la limitan.
2. Sobre el dibujo hallar unrectángulo paralelo al eje de revolución.
3. Teniendo como base el boceto, escribir el volumen de la capa.
4. Integrar entre los límites apropiados.
Método del disco
Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El más simple de ellos es el cilindro circular recto o disco, que se forma al girar un rectángulo alrededor de un eje adyacente a uno de loslados del rectángulo. El volumen de este disco de radio R y de anchura es:
Volumen del disco =
Para ver cómo usar el volumen del disco para calcular el volumen de un sólido de revolución general, consideremos una función continua f (x ) definida en el intervalo [a,b], cuya gráfica determina con las rectas x = a, x = b, y = 0, el recinto R. Si giramos este recinto alrededor del eje OX , obtenemos...