solido revolucion

TEMAS DE CÁLCULO INTEGRAL

El método de los
casquetes
cilíndricos
por Aquiles Páramo Fonseca
Departamento de Matemáticas- Universidad de Los Andes
Bogotá – Colombia - Junio del 2004

Temas
Introducción
Planteamiento general
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo final

◙

Introducción

Cebollas y troncos de
madera

¿Qué es el método de los casquetes cilíndricos?
Es un método de cálculo integralque permite
evaluar volúmenes de sólidos de revolución.
En ciertas situaciones es el único método viable.
El método de las secciones transversales no
siempre es fácil de aplicar y a veces no puede
aplicarse en absoluto.

Por ejemplo…
Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera
al hacer girar sobre el eje y la región comprendida, en el
primer cuadrante, entre la curva y = −x3 + 4x2 −3x + 1 y
la vertical x = 3.

El método de las secciones transversales

Para calcular el volumen
se podría pensar en
utilizar el método de las
secciones transversales.
En este caso serían
secciones horizontales.

Pero…
y = −x3 + 4x2 − 3x + 1
x=?

Las secciones transversales
son, en unas zonas del
sólido, discos completos y,
en otras, arandelas, es decir,
discos con hueco.
Además es necesarioexpresar tanto el radio de
los discos como el radio
interior y exterior de las
arandelas en función de la
variable y, lo que no es fácil
de lograr en este caso.

En cambio…
El método de los casquetes
cilíndricos funciona muy
bien en este caso.
Consiste en dividir el sólido
de revolución en una serie
de casquetes cilíndricos que
se incrustan los unos dentro
de los otros y en integrar
luego losvolúmenes de
estos casquetes para obtener
el volumen total.

Cebollas y troncos de madera

Es importante entender bien la estructura geométrica
involucrada en el método de los casquetes cilíndricos.

Cebollas y troncos de madera

Cebollas y troncos de madera

Otros nombres del método
de las “capas” cilíndricas.
de los “cascarones” cilíndricos.
de las “cáscaras” cilíndricas
de las “envolturas” o“envolventes” cilíndricas.
En inglés: “cylindrical shells”

◙

Planteamiento general

El método de los
casquetes cilíndricos

Antes que nada…
El volumen de un
casquete cilíndrico se
calcula restando el
volumen del cilindro
interior al volumen del
cilindro exterior:
V  V2  V1
  r22 h   r12 h

Así que…
V  V2  V1
  r22 h   r12 h
  (r22  r12 )h
  (r2  r1 )(r2  r1 )h
 r2  r1
 2 
(r2  r1 )h
 2 
 2 rhr

El volumen de un casquete cilíndrico

V  2 rh r

V = (circunferencia)(altura)(grosor)

El volumen de un casquete cilíndrico

V  2 rh r

V = (circunferencia)(altura)(grosor)

El problema general
Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera
al hacer girar alrededor del eje y la región que está
comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el ejex
y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b.

El problema general
Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera
al hacer girar alrededor del eje y la región que está
comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x
y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b.

El problema general
Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera
al hacergirar alrededor del eje y la región que está
comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x
y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b.

El método de los casquetes cilíndricos
Dividimos el intervalo [a, b]
en n subintervalos todos del
mismo ancho.
Sea xi* el punto medio del
subintervalo i-ésimo.
Consideramos el  rectángulo
Ri construido sobre el
subintervalo i-ésimo con
unaaltura de f (xi*).
Lo hacemos girar en torno
del eje y.

El método de los casquetes cilíndricos

Se produce un casquete
cilíndrico que tiene como
volumen:
Vi  (2 xi *) f ( xi *) x

El método de los casquetes cilíndricos

Se ponen n casquetes
cilíndricos de éstos, los
unos dentro de los otros.
Se suman todos sus
volúmenes:
n

V

n

V   (2 x *) f ( x *) x
i

i 1

i

i 1

i

El...