Solidos de rev

VOLUMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCION
Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

Calculo de volúmenes Método del disco. Si giramos una región del plano alrededorde un eje obtenemos un sólido de revolución. El volumen de este disco de radio R y de anchura ω es: Volumen del disco =

πR 2 w

Para ver cómo usar el volumen del disco y para calcular el volumen de un sólido de revolución general, se hacen n particiones en la grafica.

Estas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma se aproxima al volumen del mismo. Teniendo en cuenta que elvolumen 2 de un disco es πR w , la suma de Riemann asociada a la partición, y que da un volumen aproximado del sólido es:

V =

Lim ∑ πf
n →∞ i =1

n

2

(ci )( xi − xi −1 )

Fórmula del volumen por discos
Por tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene que:

V = ∫ π ( f ( x) ) dx
b 2 a

si se toma el eje de revolución verticalmente, se obtiene unafórmula similar:

V = ∫ π ( f ( y ) ) dy
d 2 c

Antes de comenzar a esbozar diversos ejemplos de estos métodos, estableceremos algunas pautas que les ayudarán a resolver problemas sobre sólidos de revolución.

COMO HALLAR

VÓLUMENES POR EL MÉTODO DEL DISCO (O ARANDELA)

1. Dibujar la región y trazar sobre esta un segmento que

sea PERPENDICULAR al eje de rotación. La región al hacerlagirar alrededor del eje de rotación generará una sección transversal típica en forma de disco o arandela dependiendo el caso. 2. Hallar: para el caso del disco el radio principal y para el caso de la arandela los radios interno y externo. 3. Establecer los límites de integración. 4. Por último integrar para hallar el volumen deseado.

y el eje x se gira alrededor del eje x para generar unsólido. Hallar su volumen.

EJEMPLO 1: La región entre la curva y = x , 0 ≤ x ≤ 25

SOLUCION:

Ayudados por la sugerencia anterior

1. TRAZO DE LA REGIÓN Y DE LA SECCIÓN TÍPICA. Abajo se muestra la región R pedida:

Región que rota alrededor del eje x

2. EXTRACCIÓN DEL RADIO PRINCIPAL: Es claro que el método a utilizar es el método de los discos. Luego, la distancia del segmento r (radioprincipal) es f, es decir: r= x. 3. LIMITES DE INTEGRACIÓN: Estos límites nos lo fueron

dados en el enunciado del ejemplo: 0 ≤ x ≤ 25 . 4. FORMULACION DE LA INTEGRAL: Aplicando la expresión correspondiente para volúmenes usando el método del disco tenemos:

V= 25 =

∫
a

b

π r 2 dx

∫
0

π ( x ) 2 dx
25

=

∫π

x dx

0 ⎛ x 2 ⎞ 25 ⎟ =π⎜ ⎜ 2 ⎟ 0 ⎝ ⎠ 625π = 2 . Por tanto elvolumen del sólido es

625 π u3 . 2

Ejercicio resuelto 2:
Hallar el volumen generado por el area bajo la curva generada por el segmento de recta que gira entorno al eje x.

y = 1+

x 3 , 0 ≤ x ≤ 12 ,

Solución: primero realicemos las gráficas.

Planteamos la integral:

El área de cada sección tiene la forma Luego el volumen del sólido es

x A( x) = π (1 + ) 2 , 3

V =∫

120

12 x 2 2x x 2 π (1 + ) dx = ∫ π (1 + + )dx 0 3 3 9

⎡ x 2 x 3 ⎤ x = 12 = π ⎢x + + ⎥ 124 π 3 27 ⎦ x = 0 = ⎣

Unidades cúbicas

EJERCICIOS PROPUESTOS
En los ejercicios 1-3 halla los volúmenes de los sólidos generados al rotar las regiones acotadas por las rectas y las curvas que se dan alrededor del eje x
2 1. y = 9 − x , y = 0 .

2. y = cos x , 0 ≤ x ≤ π / 2 , x = 0 , y = 0 . 3. y =sec x , y = 0 , x = −π / 4 , x = π / 4 . En los ejercicios 4-6 halla el volumen del sólido generado al girar cada región

alrededor del eje y. 4. La región encerrada por el triángulo con vértices ( 1,0 ) , ( 2 ,1 ) y ( 1,1 ) . 5. La región en el primer cuadrante acotada por arriba por la parábola y = x 2 , por abajo por el eje x y a la derecha por la recta x = 2 . 6. La región acotada por...