Solidos de revolucion

INTRODUCCIÓN
Los sólidos en revolución son figuras que se forman al rotar un área plana alrededor de un eje en nuestro caso el eje (X y Y), para encontrar el volumen de dichos sólidos es necesario conocer la función de origen.
Existen 2 métodos para calcular el volumen en los sólidos de revolución: El método del DISCO y el las ARANDELAS y tomando en cuenta que ya tenemos la función de origense realizan los siguientes pasos.
1. Dibujar la región y trazar sobre esta un segmento que sea PERPENDICULAR al eje de rotación. La región al hacerla girar alrededor del eje de rotación generará una sección transversal típica en forma de disco o arandela dependiendo el caso.

2. Hallar: para el caso del disco el radio principal y para el caso de la arandela los radios interno y externo.3. Establecer los límites de integración.

4. Por último integrar para hallar el volumen deseado.


¿QUE ES UN SOLIDO DE REVOLUCIÓN?

Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectánguloalrededor de uno de sus lados.

SOLIDO DE REVOLUCIÓN



FORMULA PARA CALCULAR EL VOLUMEN POR EL METODO DEL DISCO

V=∫_a^b▒〖f(x)〗² dx

EL MÉTODO DEL DISCO
Si giramos una región del plano alrededor de una línea, el sólido resultante es conocido como sólido de revolución y la línea como eje de revolución. El más simple de ellos es el cilindro circular recto o disco, que se forma al girar unrectángulo alrededor de un eje adyacente a uno de los lados del rectángulo como se muestra en la figura. El volumen de este disco es
Volumen del disco = R²w
Donde R es el radio del disco y w es la anchura.
Para ver cómo usar el volumen del disco para calcular el volumen de un sólido de revolución general, considérese el sólido de revolución obtenido al girar la región plana de la figuraalrededor del eje indicado. Para calcular el volumen de este sólido, consideremos un rectángulo representativo en la región plana.

Ejemplo de la sandia:

EXPLICACION= Para calcular el volumen de revolución de una figura dada por la función f(x)=10-r² y dados los intervalos de 0 a 36 se utiliza la formula por el método del disco, se resuelve la integral y al final se sustituyen los valoresde los intervalos para llegar a nuestro resultado que será el volumen de nuestro solido.

1er. Ejemplo del Método del Disco

Calcula el volumen de la región limitada por x=√y y las rectas y=0 y y=3 si gira alrededor del eje de las γ. Grafica.

Función: x=√y
Intervalos: (0-3)

Gráfica
x y
0 0
1 1
1.4 2
3 4

v=∫_a^b▒π[f(y) ] 2dy
v=∫_0^3▒(√y) 2 dy
v=∫_0^3▒〖y dy〗
v =π/2 y^2 ]■(3@0)
v=π/2 (3^2-0^2 )
v=9/2 π〖 u〗^3

Explicación: En el ejemplo previo, para calcular el volumen del sólido de revolución mostrado, se utiliza la formula general del método del disco pero todo con respecto al eje de las y.

METODO DE LAS ARANDELAS
Este método, es sin duda una expansión del anterior, debido a que también se basa en discos, pero esta vez con un agujero, espor eso que se les llama arandelas. El hecho que se presente el agujero, se debe a que el volumen de revolución lo forma la rotación de dos funciones, a un mismo sentido y a un mismo ritmo, de donde generalmente se forma un sólido hueco.
v=∫_a^b▒〖[f(x)-g(x)]〗 ²dx

1.-Encontrar el volumen del solido formado al girar la región acotada por las graficas de y=√x y y=x² alrededor del eje x.
xf(x) g(x)
0 0 0
0.2 0.44 0.04
0.5 0.70 0.25
0.7 0.83 0.49
0.9 0.94 0.81
1 1 1

v=∫_0^1▒π[f(x)-g(x)] 2dx
v=π∫_0^1▒[ √x- x²]2 dx
V=π∫_0^1▒〖(x-x^4)〗 dx
V=π[1/2 x^2-1/(5 ) x⁵ ]■(1@0)
V=π[1/2 1^2-1/(5 ) 1⁵ ]-[ 1/2 0^2-1/(5 ) 0⁵ ]
V= π[1/2-1/5]
V=3/(10) U³
VOLUMEN =0.942U³

EXPLICACIÓN: Para obtener el volumen de este solido utilizamos la fórmula del método de las arandelas...