solidos de revolucion

Volumen de sólidos de revolución
Cuando una región del plano de coordenadas gira alrededor de una recta
l , se
genera un cuerpo geométrico denominado sólido de revolución. La recta
l
sedenomina eje de giro. En este capítulo se estudiará como determinar el volumen de
estos sólidos si los ejes de giro son paralelos a los ejes coordenados.
4.1.- Cálculo del Volumen de Sólidos deRevolución mediante
el Método del Disco
Este método permite determinar el volumen de sólidos de revolución como la suma
del volumen de cilindros circulares rectos de corta altura (discos). Recuerde queel
volumen de un cilindro se calcula por la fórmula:
2 V r h 
, donde
r
es el radio del
cilindro y
h
su altura.
Sea la región
R
acotada por la gráfica de una función
f
continuano negativa, el
eje
x
, y las rectas verticales
x a 
y
x b 
como se muestra en la figura 4.1a, si
dicha región gira alrededor del eje
x
, se genera un sólido compacto como el que semuestra en la figura 4.1b.
Sea un plano perpendicular al eje
x
, que corta al sólido de la figura 4.1b, la
intersección es una sección transversal circular. Si este plano pasa por el punto enel eje
x
con abscisa
wi
, entonces el radio del círculo formado se denomina radio de
giro
Rg
y su longitud es
f w i, y el área del círculo es
 
2
i      f w
. Se puedededucir la integral definida que permite calcular el volumen de sólidos de revolución,
usando sumas de Riemann, de manera análoga al procedimiento utilizado para
calcular áreas en el capítulo 2.
yy
x x
Figura 4.1a
Representación grafica de la región R
Figura 4.1b
Representación gráfica del Sólido que se
forma cuando R gira alrededor del eje x
a w b
y=f(x)
b
a wi
b
f(w)=Rgf(w)=Rg62 Capítulo 4.- Volumen de Sólidos de Revolución
Sea
f
continua y no negativa en
ab, 
. Sea
 
1
n
i i
i
f w x

 
una suma de Riemann,
donde
wi
es un número arbitrario...