Solidos Platónicos

Sólidos platónicos

Sólidos platónicos
Los sólidos platónicos o regulares son poliedros convexos tal que todas sus caras son polígonos regulares iguales
entre sí, y en que todos los ángulos sólidos son iguales.[1] Reciben este nombre en honor al filósofo griego Platón
(ca. 427 a. C./428 a. C.-347 a. C.), a quien se atribuye haberlos estudiado en primera instancia. También se conocen
comocuerpos platónicos, cuerpos cósmicos, sólidos pitagóricos, sólidos perfectos, poliedros de Platón o, en
base a propiedades geométricas, poliedros regulares convexos.
Los sólidos platónicos son el tetraedro, el cubo (o hexaedro regular), el octaedro (o bipirámide cuadrada si se
incluyera en la nomenclatura de sólidos de Johnson),[cita requerida] el dodecaedro y el icosaedro (o bipirámidepentagonal giroelongada si se incluyera en la nomenclatura de sólidos de Johnson). Esta lista es exhaustiva, ya que
es imposible construir otro sólido diferente de los cinco anteriores que cumpla todas las propiedades exigidas, es
decir, convexidad y regularidad.

Historia
Las propiedades de estos poliedros son conocidas desde la antigüedad clásica, hay referencias a unas bolas neolíticas
de piedralabrada encontradas en Escocia[cita requerida] 1000 años antes de que Platón hiciera una descripción
detallada de los mismos en Los elementos de Euclides. Se les llegó a atribuir incluso propiedades mágicas o
místicas; Timeo de Locri, en el diálogo de Platón dice «El fuego está formado por tetraedros; el aire, de octaedros;
el agua, de icosaedros; la tierra de cubos; y como aún es posible unaquinta forma, Dios ha utilizado ésta, el
dodecaedro pentagonal, para que sirva de límite al mundo».
Los antiguos griegos estudiaron los sólidos platónicos a fondo, y fuentes (como Proclo) atribuyen a Pitágoras su
descubrimiento. Otra evidencia sugiere que sólo estaba familiarizado con el tetraedro, el cubo y el dodecaedro, y que
el descubrimiento del octaedro y el icosaedro pertenecen aTeeteto, un matemático griego contemporáneo de Platón.
En cualquier caso, Teeteto dio la descripción matemática de los cinco poliedros y es posible que fuera el responsable
de la primera demostración de que no existen otros poliedros regulares convexos.El nombre cubo en árabe, Kaaba,
nombra un santuario sumamente venerado en el Islam.[2]

Propiedades
Teorema
Existen únicamente cinco polígonosregulares; ello debido a la posibilidad de construcción de sus ángulos sólidos
que admiten triángulos equitateros, o cuadrados, o bien pentágonos, que deben ser menor de 360°.[3]

Regularidad
Tal y como se ha expresado para definir estos poliedros:
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Todas las caras de un sólido platónico son polígonos regulares iguales.
En todos los vértices de un sólido platónico concurren elmismo número de caras y de aristas.
Todas las aristas de un sólido platónico tienen la misma longitud.
Todos los ángulos diedros que forman las caras de un sólido platónico entre sí son iguales.
Todos sus vértices son convexos a los del icosaedro.

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Sólidos platónicos

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Simetría
Los sólidos platónicos tienen caracterizaciones simérticas:
• El centro de un cubo ( de un octaedroregular) es centro de simetría de dicha figura, devuelve la misma figura;
mas no lo es, el centro de un tetraedro regular.[4] Todos ellos gozan respecto a un punto del espacio (centro de
simetría) que equidista de sus caras, de sus vértices y de sus aristas, pero no se conserva la figura original.
• Todos ellos tienen además simetría axial respecto a una serie de ejes de simetría que pasan por elcentro de
simetría anterior.
• Todos ellos tienen también simetría especular respecto a una serie de planos de simetría (o planos principales),
que los dividen en dos partes iguales.
Como consecuencia geométrica de lo anterior, se pueden trazar en todo sólido platónico tres esferas particulares,
todas ellas centradas en el centro de simetría del poliedro:
• Una esfera inscrita, tangente a...