Solidos platonicos

Los sólidos platónicos
Historia, Propiedades y Arte Carlos Quesada 20/12/2006

INDICE

I ntroducci … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … pág. 2 ón Elori de l sóldos pl gen os i atóni … … … … … … … … … … … … … … … . pág. 3 cos . D efni ón de sóldo pl i ci i atóni … … … … … … … … … … … … … … … … … … . pág. 6 co Propiedades D i ensi m ones f undam ental … … … … … … … … … … …… … … … … … pág. 8 es Simetría … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … pág. 10 Dualidad … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..... pág. 11 ..... Propiedades combinatorias y fórmula de Euler … … … … … … . pág. 12 Sem i rregul dad y otros sóldos … … … … … … … … … … … … … … … … … pág. 15 ari i Los sólidos en la naturaleza, tecnología y arte … … … … … … … … … .pág. 19Concl ón … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . pág. 28 usi . Anexo I: Las proposiciones de los El entos … … … … … … … … … … .pág. 29 em Anexo II: Imágenes … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … pág. 39 Bibliografía … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .pág. 40

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INTRODUCCIÓN
En muchas ocasiones un objeto complejo e importante en el mundo delas matemáticas traspasa las fronteras de la misma, siendo conocido por personas ajenas a esta disciplina. Es el caso de los sólidos platónicos.

Cinco poliedros -el tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro - tienen unas determinadas propiedades que los hacen especialmente interesantes y bonitos. Tal vez no todo el mundo sabría decir a priori cuales son los sólidos platónicos, y menosaún dar una definición, pero sin duda los reconocerían, si los tuvieran delante. A lo largo de este trabajo recorreremos la historia de estos distinguidos poliedros, sus primeras apariciones, cuándo se comenzaron a considerar objetos matemáticos, porqué son solamente cinco y no más, su relevancia en la actualidad... Después profundizaremos más en la geometría y matemática de los sólidos,estudiando detalladamente sus propiedades, y analizaremos otros sólidos de características similares e igual belleza, los sólidos de Arquímedes, Kepler y Catalán. Por último, veremos sus aplicaciones fuera de las matemáticas, y la gran cantidad de apariciones que tienen estas figuras en el arte, en muchos pintores de diferentes épocas, y tal vez así lleguemos a entender por qué son unos elementos que nosresultan tan familiares. Para ello nos habremos topado con libros como los Elementos de Euclides, y hablaremos de genios como Arquímedes, Kepler, Escher, Leonardo da Vinci, Luca Pacioli,Eul er…
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EL ORIGEN DE LOS SÓLIDOS PLATÓNICOS
El origen de los sólidos platónicos como elemento para ser estudiado por las matemáticas se halla sin duda, en la antigua Grecia. Son los griegos quienes porprimera vez entienden que esos poliedros han de ser estudiados. Sin embargo para que cualquier cultura se plantee estudiar algo en un determinado momento de su historia, tienen que conocerlo con anterioridad, e incluso, con mucha anterioridad. Y este es, en concreto, el caso de los sólidos platónicos. La primera noticia que se conoce sobre estos poliedros, procede de un yacimiento neolítico en Escocia,donde se encontraron figuras de barro de aproximadamente 2000 a.C. Se cree que se trataba de elementos decorativos o, tal vez, de algún tipo de juego.

Es evidente que no había ninguna comprensión matemática de estos objetos, pero ya tenían identificados exactamente los cinco sólidos. Es probable que tampoco se preguntasen si había más sólidos o, en todo caso, era algo que no les preocupaba losuficiente como para estudiarlo a conciencia. En esa época, más o menos, se construyen las pirámides en Egipto. No tienen la forma exacta del tetraedro, pues la base es cuadrada; las pirámides presentan la forma de octaedros cortados por la mitad. El hecho aislado de que se utilice esta forma para la construcción de un edificio no es especialmente relevante, pues no hay indicios de que los...