solidos platonicos
Páginas: 5 (1163 palabras)
Publicado: 8 de agosto de 2013
G. Analítica II
Sólidos platónicos y sus curiosidades.
¿Cuál es el origen de los sólidos platónicos y que sabían los griegos?
El origen de éstos sólidos se halla en la antigua Grecia, Sin embargo para que cualquier cultura se plantee estudiar algo en un determinado momento de su historia, tienen que conocerlo con anterioridad, asi sucedió con los sólidos platónicos,existe un hecho que data del 2000 A.C. el cuál procede de un yacimiento neolítico en Escocia, donde se encontraron figuras de barro que se cree podían formar parte de algún juego o eran elementos decorativos.
En cuánto a los griegos, los pitagóricos fueron los primeros interesados en estudiar todo lo relacionado a las matemáticas, incluyendo los sólidos platónicos, y fueron estos cincopoliedros uno de los problemas que más les inquietó y fascinó, y sobre todo el dodecaedro al que atribuían una especial relación con el cosmos y por primera vez llamaron a estos poliedros sólidos pitagóricos. Posteriormente Empédocle relaciona los sólidos pitagóricos, el cubo, el tetraedro, el icosaedro y el octaedro, con la tierra, el fuego, el agua y el aire respectivamente; luego Platón relacionoel dodecaedro con la sustancia de la que estaban compuestas las estrellas, esto aparece en su diálogo Timeo, Platón pone en boca de Timeo de Locri estas palabras: “El fuego está formado por tetraedros; el aire, de octaedros; el agua, de icosaedros; la tierra de cubos; y como aún es posible una quinta forma, Dios ha utilizado ésta, el dodecaedro pentagonal, para que sirva de límite al mundo”. Enese momento es cuando los sólidos pitagóricos pasan a ser sólidos platónicos.
Pero quien en realidad trabaja en los sólidos platónicos, haciendo demostraciones y los construye inscribiendolos en la esfera, es Euclides en su libro los Elementos.
¿Qué es un poliedro platónico y cuales son?
Es un poliedro regular, es decir, un poliedro convexo cuyas caras son polígonos convexos regulares eiguales entre sí y cuyos vértices son iguales o uniformes lo que implica que deben de cumplir que cada vértice está rodeado por las mismas caras, ordenadas de la misma manera, ésto se cumple en los sólidos platónicos ya que todas las caras son iguales.
Los cinco sólidos platónicos son: tetraedro, cubo (hexaedro), octaedro, dodecaedro y el icosaedro.
¿Porqué hay tan pocos?
Porque para quese pueda formar un sólido platónico se deben de cumplir las siguientes condiciones:
Cada vértice une al menos tres caras, pues si uniese menos no sería un vértice sino un punto de una recta.
Para que un vértice tenga volumen, y por tanto pueda formar un poliedro, la suma de los ángulos tiene que ser menor que 360º pues si alcanzase esta cifra sería un vértice plano.
Por tanto como debehaber un mínimo de tres ángulos cada uno ha de medir menos que 360/3 = 120º
De la condición tres podemos ver que ningún polígono regular con más de cinco lados puede cumplir que cada uno de sus ángulos mida menos de 120º, así pues los polígonos regulares que pueden formar sólidos platónicos se reducen a tres, el tríangulo equilátero, el cuadrado y el pentágono regular.
¿Qué dice el teoremade Euler y como se puede usar para contestar la pregunta anterior?
El Teorema de poliedros de Euler fija que el número de caras de un poliedro convexo más su número de vértices es siempre igual a su número de aristas más dos, es decir: c+v=a+2, donde c= número de caras, v=número de vértices y a= número de aristas.
¿Qué es la razón aurea?
Es una razón que cumple que si tenemos unsegmento de recta largo y queremos encontrar un punto dentro de este segmento que lo divida en dos partes: una larga de longitud A y otra más corta de longitud B. Pero queremos además que A quepa tantas veces en el segmento inicial (A+B) como el número de veces que cabe B en el segmento de longitud A; es decir:
La razón aurea aparece en muchas partes, en la naturaleza, en los...
Sólidos platónicos y sus curiosidades.
¿Cuál es el origen de los sólidos platónicos y que sabían los griegos?
El origen de éstos sólidos se halla en la antigua Grecia, Sin embargo para que cualquier cultura se plantee estudiar algo en un determinado momento de su historia, tienen que conocerlo con anterioridad, asi sucedió con los sólidos platónicos,existe un hecho que data del 2000 A.C. el cuál procede de un yacimiento neolítico en Escocia, donde se encontraron figuras de barro que se cree podían formar parte de algún juego o eran elementos decorativos.
En cuánto a los griegos, los pitagóricos fueron los primeros interesados en estudiar todo lo relacionado a las matemáticas, incluyendo los sólidos platónicos, y fueron estos cincopoliedros uno de los problemas que más les inquietó y fascinó, y sobre todo el dodecaedro al que atribuían una especial relación con el cosmos y por primera vez llamaron a estos poliedros sólidos pitagóricos. Posteriormente Empédocle relaciona los sólidos pitagóricos, el cubo, el tetraedro, el icosaedro y el octaedro, con la tierra, el fuego, el agua y el aire respectivamente; luego Platón relacionoel dodecaedro con la sustancia de la que estaban compuestas las estrellas, esto aparece en su diálogo Timeo, Platón pone en boca de Timeo de Locri estas palabras: “El fuego está formado por tetraedros; el aire, de octaedros; el agua, de icosaedros; la tierra de cubos; y como aún es posible una quinta forma, Dios ha utilizado ésta, el dodecaedro pentagonal, para que sirva de límite al mundo”. Enese momento es cuando los sólidos pitagóricos pasan a ser sólidos platónicos.
Pero quien en realidad trabaja en los sólidos platónicos, haciendo demostraciones y los construye inscribiendolos en la esfera, es Euclides en su libro los Elementos.
¿Qué es un poliedro platónico y cuales son?
Es un poliedro regular, es decir, un poliedro convexo cuyas caras son polígonos convexos regulares eiguales entre sí y cuyos vértices son iguales o uniformes lo que implica que deben de cumplir que cada vértice está rodeado por las mismas caras, ordenadas de la misma manera, ésto se cumple en los sólidos platónicos ya que todas las caras son iguales.
Los cinco sólidos platónicos son: tetraedro, cubo (hexaedro), octaedro, dodecaedro y el icosaedro.
¿Porqué hay tan pocos?
Porque para quese pueda formar un sólido platónico se deben de cumplir las siguientes condiciones:
Cada vértice une al menos tres caras, pues si uniese menos no sería un vértice sino un punto de una recta.
Para que un vértice tenga volumen, y por tanto pueda formar un poliedro, la suma de los ángulos tiene que ser menor que 360º pues si alcanzase esta cifra sería un vértice plano.
Por tanto como debehaber un mínimo de tres ángulos cada uno ha de medir menos que 360/3 = 120º
De la condición tres podemos ver que ningún polígono regular con más de cinco lados puede cumplir que cada uno de sus ángulos mida menos de 120º, así pues los polígonos regulares que pueden formar sólidos platónicos se reducen a tres, el tríangulo equilátero, el cuadrado y el pentágono regular.
¿Qué dice el teoremade Euler y como se puede usar para contestar la pregunta anterior?
El Teorema de poliedros de Euler fija que el número de caras de un poliedro convexo más su número de vértices es siempre igual a su número de aristas más dos, es decir: c+v=a+2, donde c= número de caras, v=número de vértices y a= número de aristas.
¿Qué es la razón aurea?
Es una razón que cumple que si tenemos unsegmento de recta largo y queremos encontrar un punto dentro de este segmento que lo divida en dos partes: una larga de longitud A y otra más corta de longitud B. Pero queremos además que A quepa tantas veces en el segmento inicial (A+B) como el número de veces que cabe B en el segmento de longitud A; es decir:
La razón aurea aparece en muchas partes, en la naturaleza, en los...
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