SolJun2012B1
Páginas: 3 (555 palabras)
Publicado: 29 de octubre de 2015
Junio 2012
PROBLEMA B.1. Obtener razonadamente:
x
1 0 2 x 1
a) Todas las soluciones y de la ecuación 1 1 3 y = 3 (4 puntos).
z
1 − 11 z − 1
b) El determinante de una matriz cuadrada B de dos filas, que tiene matriz inversa y que verifica la
ecuación B2 = B. (3 puntos).
c) El determinante de una matrizcuadrada A que tiene cuatro filas y que verifica la ecuación:
1
0
2
A − 9
0
0
0 0 0 0
1 0 0 0
=
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
sabiendo además que eldeterminante de A es positivo. (3 puntos).
Solución:
1 0 2
a) Veamos si la matriz A = 1 1 3 tiene inversa.
1 − 1 1
1 0 2
1 1 3 = 1 − 2 − 2 + 3 = 0 , luego ∃/ A−1
1 −1 1
La ecuaciónmatricial del enunciado da lugar al siguiente sistema:
+ 2z = 1
0 2
1
x
1
1 3
3
x + y + 3 z = 3 , estudiemos este sistema. Su matriz ampliada es A´= 1
x − y − z = −1
1 − 1 1 − 1
Estudiemos el rango de A.
1 0
Del cálculo inicial sabemos que │A│= 0 y como
= 1 ≠ 0 , rang(A) = 2
1 1
Estudiemos el rango de A´, como ran(A) = 2 → ran(A´) ≥ 2. Ampliamos el menor de orden 2 no nulo deA´, que es
el obtenido anteriormente en A, con la cuarta columna y tercera fila:
1 0
1
1 1
3 = −1 − 1 − 1 + 3 = 0
Por lo tanto ran(A´) = 2
1 −1 −1
Lo obtenido es: ran(A) = ran(A´) = 2 < 3 = nºincógnitas → Sistema compatible indeterminado.
Resolvemos el sistema usando las ecuaciones ( 1ª y 2ª ) e incógnitas ( x, y ) que han proporcionado este rango.
+ 2z = 1
x
x = 1 − 2 z
→
x + y + 3z = 3
x+ y = 3 − 3 z
El sistema a resolver es:
Sustituyendo el valor de x obtenido en la 1ª ecuación en la 2ª:
1 – 2 z + y = 3 – 3 z; y = 3 – 1 – 3 z + 2 z = 2 – z
x = 1 + 2λ
Las soluciones delsistema son: y = 2 − λ λ ∈ ℜ
z = λ
x 1 − 2λ
y
=
2
−
λ
λ ∈ℜ
Finalmente, las soluciones de la ecuación matricial inicial serán:
z λ
b) B es una matriz 2x2...
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