Solo hay 5 solidos regulares
Páginas: 3 (711 palabras)
Publicado: 12 de febrero de 2011
ACTIVIDAD 5
Un poliedro simple, o sólido regular, es un poliedro sin agujeros. Un hecho fundamental es que sólo hay y puede haber 5 sólidos regulares. La demostración más fácil deriva de unarelación de el número de caras, C, el número de aristas, A y el número de vértices, V, de un sólido regular
V-A+C=2 (2)
En un cubo, por ejemplo, hay 6 caras (C=6), y 8 vértices (V=8), 8-A+6=2 , 14-A=2, yA=12 ; la ecuación de arriba nos indica que el cubo tiene 12 aristas. Toda arista de un sólido regular es compartida por los lados de dos polígonos adyacentes. Cuando observamos el cubo en el cualcada arista hace de frontera entre dos cuadrados. Si contamos todos los lados de todas las caras de un poliedro, nC, habremos contado dos veces todas las aristas. Por lo tanto C=2A (3)
Sea r elnúmero de aristas que convergen en cada vértice. En un cubo r=3. También ahora cada arista conecta dos vértices. Si contamos todos los vértives, rV, habremos contado del mismo modo dos veces cada arista.Por lo tanto,
rV=-2A (4)
Si sustituimos los valores de y y C de las ecuaciones : C=2A y rV=-2A , en la ecuación: V-A+C=2 obtenemos la 2Ar – A+2AN- 2 (5)
Si dividimos ambos términos deesta ecuación por 2A, tendremos: 1n+1r=12+1A
Sabemos que n es 3 o más, porque el polígono más simple es el triángulo, con tres lados. Sabemos también que r es 3 o más, porque en unvértice dado de un poliedro se encuentran por lo menos 3 caras. Si tanto n como r fueran simultáneamente más de 3, el primer término de la ecuación 2Ar – A+2AN- 2 sería inferior a 2/3,y la ecuación no podría satisfacerse para cualquier valor positivo de A. Por lo tanto, y gracias a otro argumento basado en la reducción al absurdo, o bien n = 3 y r vale 3 o más, o bien r= 3 y nvale 3 o más.
Si n=3, la ecuación la 2Ar – A+2AN- 2 se convierte en (1/3+(1/r)=(1/2)+(1/A), o bien: 1r=1A+16
Es decir, que en este caso sólo puede ser igual a 3,4 o 5. (Si r valiese...
Un poliedro simple, o sólido regular, es un poliedro sin agujeros. Un hecho fundamental es que sólo hay y puede haber 5 sólidos regulares. La demostración más fácil deriva de unarelación de el número de caras, C, el número de aristas, A y el número de vértices, V, de un sólido regular
V-A+C=2 (2)
En un cubo, por ejemplo, hay 6 caras (C=6), y 8 vértices (V=8), 8-A+6=2 , 14-A=2, yA=12 ; la ecuación de arriba nos indica que el cubo tiene 12 aristas. Toda arista de un sólido regular es compartida por los lados de dos polígonos adyacentes. Cuando observamos el cubo en el cualcada arista hace de frontera entre dos cuadrados. Si contamos todos los lados de todas las caras de un poliedro, nC, habremos contado dos veces todas las aristas. Por lo tanto C=2A (3)
Sea r elnúmero de aristas que convergen en cada vértice. En un cubo r=3. También ahora cada arista conecta dos vértices. Si contamos todos los vértives, rV, habremos contado del mismo modo dos veces cada arista.Por lo tanto,
rV=-2A (4)
Si sustituimos los valores de y y C de las ecuaciones : C=2A y rV=-2A , en la ecuación: V-A+C=2 obtenemos la 2Ar – A+2AN- 2 (5)
Si dividimos ambos términos deesta ecuación por 2A, tendremos: 1n+1r=12+1A
Sabemos que n es 3 o más, porque el polígono más simple es el triángulo, con tres lados. Sabemos también que r es 3 o más, porque en unvértice dado de un poliedro se encuentran por lo menos 3 caras. Si tanto n como r fueran simultáneamente más de 3, el primer término de la ecuación 2Ar – A+2AN- 2 sería inferior a 2/3,y la ecuación no podría satisfacerse para cualquier valor positivo de A. Por lo tanto, y gracias a otro argumento basado en la reducción al absurdo, o bien n = 3 y r vale 3 o más, o bien r= 3 y nvale 3 o más.
Si n=3, la ecuación la 2Ar – A+2AN- 2 se convierte en (1/3+(1/r)=(1/2)+(1/A), o bien: 1r=1A+16
Es decir, que en este caso sólo puede ser igual a 3,4 o 5. (Si r valiese...
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