SOLO RAP

FACTORIZACIÓN
Cuando una expresión algebraica se puede expresar como el producto de dos o más expresiones algebraicas,
distintas de 1, decimos que la expresión es factorizable, y a las expresiones que se multiplican entre sí, las
llamamos factores o divisores de la expresión algebraica dada.
Ejemplos:
 Como 𝑥 + 2 𝑥 + 3 = 𝑥 2 + 5𝑥 + 6, decimos que las expresiones 𝑥 + 2 y 𝑥 + 3 son losfactores del
polinomio 𝑥 2 + 5𝑥 + 6.
 En un monomio los factores se pueden hallar por simple inspección; por ejemplo, en el monomio 15𝑥𝑦𝑧 los
factores son 3, 5, 𝑥, 𝑦 𝑦 𝑧, ya que: 3 ∙ 5 ∙ 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑧 = 15𝑥𝑦𝑧.
 La expresión 𝑎 + 𝑏 solo es divisible por 1 y por 𝑎 + 𝑏, por lo tanto, no es factorizable.
Descomponer en factores o factorizar un polinomio es convertirlo en el producto indicado de susfactores. Como
los polinomios tienen diferentes formas, la manera de factorizarlos, será distinta, situación que origina la existencia de
métodos, conocidos como casos de factorización.
Caso 1 – Factor Común
Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común, expresamos el factor común como coeficiente de
un paréntesis, dentro del cual escribimos la suma de los cocientes que seobtienen al dividir cada término por el
factor común. Por ejemplo, en la expresión 𝑥𝑎 + 𝑥𝑏 , el factor común es 𝑥, y se puede factorizar por 𝑥 𝑎 + 𝑏 . El
factor común puede ser numérico, literal, monomio o polinomio
Ejemplos:
Si el factor común es literal, se escoge como factor común el literal con su menor exponente:

𝑥²– 3𝑥 = 𝑥(𝑥– 3)
Notemos que la expresión dentro del paréntesis tiene
igualnúmero de términos que la original, pero cuyas
 3𝑥²𝑦 + 7𝑥 3 𝑦 − 5𝑥 4 = 𝑥 2 3𝑦 + 7𝑥𝑦 − 5𝑥 2
partes literales han disminuido su exponente en una

𝑎𝑏 3 + 3𝑎𝑏 2 − 𝑎𝑏 = 𝑎𝑏(𝑏 3 + 3𝑏 − 1)
cantidad igual al exponente del literal que se tomó
2
2
2

𝑥 𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 = 𝑥𝑦𝑧(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)
como factor común.

Si el factor común es numérico, se escoge como factor común el M.C.D. de los coeficientesnuméricos en los
términos de la expresión:
 6𝑎– 12𝑏 + 24 = 6(𝑎 − 2𝑏 + 4)
Notemos que la expresión dentro del paréntesis
 3𝑚2 − 24𝑚4 + 12 = 3(𝑚2 − 8𝑚4 + 4)
tiene igual número de términos que la original, pero
los coeficientes son el resultado de haber dividido
 4𝑝 + 12𝑞 + 16 = 4 𝑝 + 3𝑞 + 4
entre el factor común.
2
2
2
 27𝑥² − 54𝑥𝑦 − 18𝑦 = 9 3𝑥 − 6𝑥𝑦 + 2𝑦
Si el factor numéricoposee un monomio con parte numérica y literal, se tiene en cuenta los procedimientos seguidos
en los dos casos anteriores:
 15𝑥 4 + 20𝑥 3 − 35𝑥 2 + 45𝑥 = 5𝑥(3𝑥 3 + 4𝑥 2 − 7𝑥 + 9)
 24𝑥 2 𝑦 3 − 36𝑥𝑦 4 = 12𝑥𝑦 3 2𝑥 − 3𝑦
 16𝑎 𝑚 − 24𝑎2𝑚 − 48𝑎3𝑚 = 8𝑎 𝑚 2 − 3𝑎 𝑚 + 6𝑎2𝑚
Por último, si el factor común es un polinomio, se factoriza agrupando términos, es decir, se asocian los términos que
tengan unmonomio común, se factorizan estos términos buscando que queden polinomios comunes y luego se
factoriza el polinomio común:
a)

𝑥 3 − 9𝑥 − 𝑥 2 + 9

= 𝑥 3 − 𝑥 2 − 9𝑥 + 9

b)

= 𝑥2 𝑥 − 1 − 9 𝑥
−1
= 𝑥 − 1 𝑥2 − 9

8𝑥 3 + 4𝑥 2 − 6𝑥 − 3

= 4𝑥 2 2𝑥 + 1 − 3 2𝑥 + 1
= 2𝑥 + 1 4𝑥 2 − 3

Caso 2 – Factorización de Binomios


Para factoriza una diferencia de cuadrados 𝒙 𝟐 − 𝒚 𝟐 , extraer laraíz cuadrada de cada uno de los cuadrados
perfectos y formar los factores, uno con la suma de las raíces y el otro con su diferencia, es decir:
𝑥 2 − 𝑦 2 = 𝑥 + 𝑦 (𝑥 − 𝑦)
Ejemplo. Factorizar 𝑥 2 − 16:
− 16 = 𝑥 + 4 (𝑥 − 4)
𝑥2
𝑥

2

4

2

Ejemplo. Factorizar 𝑥 2 − 6:

𝑥2
𝑥

−

6

= 𝑥 + 6 (𝑥 − 6)
2

2

6
Ejemplo. Para factorizar 𝑥 3 𝑦 − 𝑥𝑦 3 , primero sacamos el factorcomún y obtenemos un factor que es una diferencia
de cuadrados:
) = 𝑥𝑦 𝑥 + 𝑦 (𝑥 − 𝑦)
𝑥 3 𝑦 − 𝑥𝑦 3 = 𝑥𝑦(
−
𝑥2
𝑦2
𝑥

2

𝑦

2



Para factorizar una diferencia de cubos 𝒙 𝟑 − 𝒚 𝟑 , debemos extraer la raíz cúbica de cada término y formar dos
factores: un binomio con la diferencia de las raíces cúbicas y un trinomio con la suma del cuadrado de la primera raíz
cúbica, el producto de...