Solución de ecuaciones algebraicas

Soluci´ n de sistemas de ecuaciones algebraicas o
Christian Mauricio Cardona† c´ digo 0808513 o Juan Carlos Moreno† c´ digo 0807536 o Felipe Rend´ n Castrill´ n† o o c´ digo 0808036 o

Resumen—En este informe presentamos la soluci´ n de un sisteo ma de ecuaciones lineales y su implementaci´ n con amplificadores o operacionales. Abstract—In this report we present the solution of a system oflinear equations , and its implementation with operational amplifiers. Index Terms—Voltaje de polarizaci´ n, Resistor de referencia, o amplificador operacional, sistema de ecuaciones

z = a1 x1 + a2 x2 + . . . + am xm − b1 y1 − b2 y2 − . . . − bn yn
m i=1 n

= ∑ ai xi − ∑ b j y j
j=1

(1)

donde a i , b j = R+ (2)

I.

O BJETIVOS

Dise˜ ar un circuito electr´ nico que de soluci´ n a un no o sistema lineal algebraico. Obtener la soluci´ n de un sistema de ecuaciones lineales o empleando amplificadores operacionales. Comprobar la alta versatilidad y prestaciones de los amplificadores operacionales. II. ´ I NTRODUCCI ON El concepto de amplificador operacional surgi´ a comienzos o de la Segunda Guerra Mundial con el uso de tubos de vac´o ı en los dise˜ os de amplificadores dc por lacompa˜ ´a George n nı A. Phibrick. El amplificador operacional era el bloque de construcci´ n b´ sico para los primeros mecanismos servoeo a lectr´ nicos, para los sintetizadores, y en particular, para los o computadores an´ logos usados para resolver ecuaciones algea braicas y diferenciales. Con la llegada de los primeros circuitos integrados monol´ticos con amplificadores operacionales, la ıdisponibilidad de amplificadores ya no era un problema, y su costo iba disminuyendo hasta acercarse al de los transistores discretos individuales. Aunque los computadores digitales han suplantado enormemente a los computadores an´ logos en a aplicaciones matem´ ticas intensivas, el uso de amplificadoa res baratos en aplicaciones de instrumentaci´ n, en filtrado o y en aplicaciones de procesamiento de se˜ales en general n ha seguido creciendo. Hay actualmente muchos fabricantes comerciales cuyos productos principales son amplificadores de alta calidad. Esta competitividad ha asegurado un nicho de mercado que presenta una amplia gama de dispositivos relativamente baratos apropiados para uso de ingenieros electr´ nio cos, f´sicos, qu´micos, bi´ logos y casi cualquier disciplina que ı ı o requieraobtener datos an´ logos cuantitativos procedentes de a experimentos instrumentalizados. [1] III. ´ M ARCO TE ORICO Dadas las caracter´sticas din´ micas de los amplificadores ı a operacionales, se hacen aptos para resolver m´ ltiples probleu mas que tienen lugar en la ciencia y la ingenier´a. Sea la ı ecuaci´ n algebraica dada por la siguiente expresi´ n: o o
†

Como se puede observar, la ecuaci´ n (1)tiene la forma de la o ecuaci´ n con algunos ajustes de sus par´ metros. Por lo tanto, o a la ecuaci´ n (1) se puede realizar utilizando la red generalizada o con operacionales. La ecuaci´ n o R f m vi vo = (1 + ¯ ) ∑ − R f R i=1 Ri se puede escribir como vo = Req ∑ donde Rf Req = (1 + ¯ ) (5) R Puesto que la tensi´ n de salida es la combinaci´ n lineal de o o las tensiones de entradamultiplicadas por una constante, se pueden dar condiciones de dise˜ o de modo que se tenga una n red con impedancias de entrada iguales, tanto en la entrada inversora como en la no inversora, es decir, ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ R0 ||R1 ||R2 || . . . ||Rm = R0 ||R1 ||R2 . . . ||Rn ||R f (6) vi −Rf Ri i=1
m n j=1 n j=1

∑ R¯ j
v¯j

v¯j

(3)

∑ R¯ j

(4)

El miembro de la izquierda corresponde al equivalente Th´venin visto desde la entrada no inversora, mientras que e el de la derecha corresponde al equivalente Th´ venin en la e entrada inversora: R = R0 ||R1 ||R2 || . . . ||Rm ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ R = R0 ||R1 ||R2 || . . . ||Rn Reemplazando en (6): ¯ R = R||R f Sustituyendo (9) en (5) se llega a: (9) (7) (8)

Estudiantes de Ingenier´a Electr´ nica Universidad Nacional de Colombia ı o

Rf ¯ Req = (1 + ¯...