Solución De Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Mediante El Método De Euler Usando Matlab

Relatoría # 17, 22 de mayo del 2012
SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER USANDO MATLAB

Relator:


Encargada:
Lina María Gómez Echeverri
Facultad de Minas
Fundamentos de Control 2012 - I
Objetivos

Comprender la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias EDO a través del método de Euler.
Identificar las herramientas de Matlab parasolucionar EDO, además de su uso para la representación y análisis de sistemas de control con sus respectivas funciones de transferencia.
Interpretar y analizar la solución dada por el programa, relacionando el resultado con el comportamiento real del sistema.

Contenido de la clase

La profesora inició recordando el método de Euler para solucionar la ecuación diferencial representativa de unsistema dinámico no lineal, tomando como ejemplo la ecuación que se obtuvo en el experimento de los vasos (1); para ello, se debe contar con una condición inicial. El método se basa en una solución de iteración de aproximación hacia adelante (2).

dL/dt=(K_1 A_1 √2gh)/A-(K_2 A_2 √2gL)/A=(F_in-F_out ) (1)

dL/dt=(L_(i+1)-L_i)/∆t(2)

La ecuación (3) es la representación matemática del método de Euler la cual se obtuvo igualando (1) y (2):

dL/dt=(L_(i+1)-L_i)/∆t=(F_in-F_out ) (3)

Para comprender como trabaja el método se despejó de (3) el valor de la función L_(i+1) para un tiempo general i+1:

L_(i+1)=(F_in-F_out)∆t+L_i (4)
Luego partiendo de la condición inicial L_1=0, y reemplazándolos en (4) se obtiene un determinado valor para L_(i+1):

L_2=(F_in-F_out )∆t+L_1

Siguiendo la secuencia, el nuevo resultado L_2, será ahora L_i, el cual se remplaza en (4) para calcular L_3:
L_3=(F_in-F_out )∆t+L_2

Así sucesivamente se puede calcular n valores paraL_(i+1), y entre mayor sea la cantidad de veces que se repita este proceso, mayor será la precisión del cálculo. De este modo, la profesora explicó el mecanismo de funcionamiento del método de Euler, donde ∆t es el tamaño de paso y n el numero de iteraciones. La iteración se esquematiza en la tabla 1.

i t_i Valores L_i Valores L_(i+1) t=i*∆t
i = 1 t_1 L_1=0 L_(i+1)=L_2 1*∆t
i = 2 t_2 L_2L_(i+1)=L_3 2*∆t
i = 3 t_3 L_3 L_(i+1)=L_4 3*∆t
i = 4 t_4 L_4 L_(i+1)=L_5 4*∆t
L_i ….. ……
i = n t_n L_n L_(i+1)=L_n n*∆t







Tabla 1: Esquematización del proceso de iteración del método de Euler para ecuaciones diferenciales.

Después de la explicación procedimos a descargar el archivo “simulador en matlab” de la plataforma moodle e iniciamos a trabajar con Matlab. El contenido deldocumento descargado fue copiado en la ventana editor; una vez hecho esto, la profesora empezó a describir las partes del texto, al tiempo que decía algunos comentarios sobre datos importantes. Simultáneamente se fueron haciendo modificaciones de acuerdo al caso experimental de los vasos. En la figura 1 se muestran las partes del documento que fueron descritas en clase.

Se recordó el uso delos comandos clc y clear all para limpiar datos, así, en la ventana command window escribimos el comando clc, el cual borró todo lo que había en esta. También escribimos el comando clear all que borró los datos almacenados en la ventana workspace. Habló de la utilidad del uso del símbolo porcentaje (%) para realizar comentarios al momento de estar creando o editando algún archivo en editor.

Enla sección de los parámetros, la profesora Lina recordó que estos son caracterizados por ser valores constantes y conforman la ecuación diferencial ordinaria (1), en el caso del nivel de los vasos, los parámetros físicos son: los coeficientes K_1 y K_2, el área del agujero A_(1 ) y A_(2 ), el área transversal del vaso A y la gravedad g. Antes de seguir con la descripción, la profesora...