Solución general de las E. D. L. H.

2.1.6. Solución general de las E. D. L. H.
2.1.6.1. Reducción de orden de una E. D. L. de orden dos a una de primer orden; construcción de una segunda solución a partir de otra ya conocida.Suponga que denota la solución no trivial de:



y que se define en un intervalo I. se busca una segunda solución, , talque , sea un conjunto linealmente independiente en I.

Si sonlinealmente independientes, entonces su cociente no es constante en I, es decir;


La función U(x) se determina al sustituir en la E.D. que se proporciona. A éste método se le denomina“Reducción de orden” porque se debe resolver una E. D. L. P. O. para determinar U(x).


Caso general.

Como , sabemos que y que, a partir de ella, se encuentra una segunda solución como:Ejemplo 01:

Dado que y1 = ex es una solución de en el intervalo . Utilizar la reducción de orden para hallar una segunda solución .

Solución:



Calculamos la primera y segunda derivadade la función “y” (anterior).



Una vez obtenidos los valores de y’ y y’’; sustituimos en la E.D. proporcionada y, al final, factorizamos el valor de y1:



De donde ex es el valor de y1;por lo que no puede ser igual a cero, atendiendo al producto algebraico:


Debido a esto, hacemos que:


Por lo que, la expresión anterior, nos queda como la siguiente ecuación, donde hacemosun cambio de variable:



La ecuación resultante, si la resolvemos por FACTOR INTEGRANTE, tenemos:



Con lo que simplemente con una integración de u’(x), encontramos el valor de u(x).Una vez hallado el valor de u(x), sustituimos en la ecuación inicial:



Por lo que, finalmente:

Si, en ésta ecuación, despreciamos los coeficientes de ambos factores de ésta función solución:podemos encontrar los valores de los factores que la componen, entre ellos el valor del factor ya conocido (y1):



Por lo que, para ésta E. D., tenemos que:



Ejemplo 02:

La función...