Solución Particular de la ecuación de Poisson

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Solución Particular de la Ecuación de Poisson

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Sea G(r; ro ) = 4π|r−ro | una función de Green(en R3 ) tal
que l´ r→∞ G(r; ro ) = 0, entonces:
ım2

G(r; ro ) = δ 3 (r; ro )

(1)

Multiplicando ambos lados de la ecuación No.1, por ρ(r) y
desarrollando, se obtiene:
ρ(r)

2

G(r; ro ) =ρ(r)δ 3 (r; ro )

(2)

Ecuación en la cual, la función ρ(r) puede entrar a la
expresión que contiene al operador laplaciano, ya que este
depende de rúnicamente y el vector ro está fijo en el espacio.
Haciendo uso de esta propiedad y aplicando una integral de
volumen para ambos lados, se obtiene:
d3 ro

2d3 ro ρ(r)δ 3 (r; ro )

ρ(r)G(r; ro ) =

R3

(3)

R3

En donde el diferencial de volumen d3 ro = dxo dyo dzo .
El operador laplaciano, puedeanteponerse a la integral del
lado izquierdo, ya que se realiza esta integral, respecto a un
diferencial de volumen, que depende únicamente del vector
ro , locual puede expresarse como:
2

d3 ro ρ(r)G(r; ro ) =
R3

d3 ro ρ(r)δ 3 (r; ro )

(4)

R3

Sabiendo que la delta de Dirac es cero para todos loscasos,
excepto en ρ(r) en donde es igual a 1, puede suprimirse la
integral del lado derecho y reemplazarse por el valor de la
función en dicho vector.
2d3 ro ρ(r)G(r; ro ) = ρ(r)

(5)

R3

Resultando todo lo anterior, en que la solución particular
para la función ψ(r) = 2
d3 ro ρ(r)G(r; ro ), enR3 es :
R3

d3 ro

ψ(r) =
R3

Recordatorio:
r−ro
1
|r−r0 | = |r−r0 |3
1
r
|r| = |r|3

−ρ(r0 )
;
4π|r − ro |

2

ψ = ρ(r)

(6)