Solución Problema de Cauchy

UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
FACULTAD DE CIENCIAS
FISICAS Y MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA

Tarea 2 Ecuaciones Diferenciales II
Crist´obal Miranda Alvarez
2.8.5.h)Encontrar lasoluci´
on al problema de Cauchy
uux − uuy = u2 + (x + y)2 ; u(x, 0) = 1

(1)

Resoluci´
on:
M´etodo de Parametrizaci´
on:
Sea Γ : (x, y, u) ∈ R3 : x(s, t) = s, y(s, t) = 0, u(s, t) = 1 unacurva suave transversal a todas las
curvas caracter´ısticas de (1). Tambi´en sean a(x, y, u) = u, b(x, y, u) = −u, c(x, y, u) = u2 + (x + y)2 , con
a, b, c ∈ C 1 (R3 ), es decir, no se anulansimult´aneamente.
Sistema Caracter´ıstico:
dy
(s, t) = −u
dt

dx
(s, t) = u
dt

du
(s, t) = u2 + (x + y)2
dt

Con esto podemos obtener la igualdad:
dx
dy
dx dy
=−
⇔
+
=0
dt
dt
dt
dtd
⇔ (x + y) = 0
dt
⇔ x(s, t) + y(s, t) = c1
Aplicando las condiciones iniciales:

x(s, 0) + y(s, 0) = s = c1
Luego, tenemos tambi´en:

−u

dy
dy
−u
du
du
= (u2 + (x + y)2 )
⇔
= 2dt
dt
dt
u + (x + y)2 dt

Integrando con la sustituci´
on w = u2 + (x + y)2 , dw = 2udu tenemos,
⇔
⇔

−1 dw
dy
=
dt
2w dt

2
2
d( −1
dy
2 ln(u + (x + y) )
=
dt
dt

1

(2)d
1
(y + ln(u2 + (x + y)2 ) = 0
dt
2
1
⇔ y(s, t) + ln(u(s, t)2 + (x(s, t) + y(s, t))2 ) = c2
2
Aplicando las condiciones iniciales:
⇔

1
1
y(s, 0) + ln(u(s, 0)2 + (x(s, 0) + y(s, 0))2 )= ln(1 + s2 ) = c2
2
2

(3)

Encontrando as´ı las dos curvas caracter´ısticas. Luego, relacionando estas dos curvas podemos obtener el valor de u(x, y):
1
1
ln(1 + s2 ) = ln(1 + c21 )
2
21
1
⇔ y + ln(u2 + (x + y)2 ) = ln(1 + (x + y)2 )
2
2
1
⇔ y = [ln(1 + (x + y)2 − ln(u2 + (x + y)2 )]
2
c2 =

⇔ e2y =

1 + (x + y)2
u2 + (x + y)2

⇔ u2 = e−2y + (x + y)2 (e−2y − 1)

⇔u(x, y) =

e−2y + (x + y)2 (e−2y − 1)

Obteniendo la soluci´
on al problema.

M´etodo de Integrales Primeras:
Por teorema, existen 2 integrales primeras, independientes funcionalmente en el...