Solución Tarea de aproximaciones y errores de redondeo

Métodos numéricos y álgebra lineal
CB00851
Aproximaciones y errores de redondeo

Solución Tarea de Aproximaciones y errores de redondeo
1. Calcula el error absoluto y el error relativo si p = e y p * = 2.718 donde p * es el
valor calculado.
Solución:
valor real = e valor calculado = 2.718
Error absoluto :
valor calculado
E a = valor real − valor calculado
valor real
2.718
Ea =
=2.718281828
E a = e − 2.718 = 2.81828459 × 10 − 4
e
Error relativo :
Ea =

Er =

error absoluto
valor verdadero

Er =

2.718281828
= 0.3678423998
e

Er =

valor real − valor calculado

Er =

valor real
e − 2.718281828
e

= 1.036 × 10 − 4

2. Determina el mayor intervalo en que debe de estar p * para aproximar p = e
con un error relativo a lo sumo de 10 −3 .
Solución:Er =

valor real ± valor calculado
valor real

10 −3 =

π × 10

e± p

−3

*

e
= e ± p*

p * = e ± e × 10 −3
= 2.715563547
= 2.71100011
p * = [2.715563547, 2.72100011]

NGJ/v06

Unidad II

1

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Aproximaciones y errores de redondeo
1 3
3
(i) en forma exacata, (ii) mediante una
+ −
3 11 20
aritmética de truncamiento atres cifras y (iii) con una aritmética de redondeo a
tres cifras. Calcula los errores relativos.

3. Realiza la operación:

1
3
Exacata
0.333333333
truncamiento
0.333
redondeo
0.334
Error
realtivo
0.001
truncamiento
exacto − truncado

3
11
0.27272727
0.273
0.273
0.002

3
20

0

1 3
3
+ −
3 11 20
0.45606061
0.456
0.457
0.0023235588

0

0.0020598

0.15
0.1500.150

exacto

Error
relativo
redondeo
exacto − redondeado

0.002

0.001

exacto

4. Utilizando una aritmética de redondeo a tres cifras, calcula el error absoluto y el
error relativo con el valor exacto determinado a por los menos cinco cifras:
22
π−
7
1
17
Solución
22
π−
7
1
17
Valor exacto
-0.021496318
Redondeo a tres cifras
-0.022
Error relativo
0.023431104exacto − redondeado
Truncado a tres cifras

-0.021

exacto
Error relativo
exacto − truncado

0.023088492

exacto

NGJ/v06

Unidad II

2

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1
con un valor de x cercano a noventa grados.
1 − senx
¿Cómo se puede evitar la resta de dos números casi iguales en el denominador?
Al hacer el cálculo enla calculadora o en la computadora, ¿muestra mensaje de
overflow?
Solución
1
En
la
calculadora:
= 9.433665734
porque
1 − sen(89.99999999999)
sen(89.9999999999 99) no es uno.

5. Evalúa la expresión

6. El error de propagación ∈ f se calcula ∈ f = f (a * ) − f (a) donde a * es el valor
calculado. Se desea evaluar la función f ( x) = e −5 x en el punto x = 1.0 , sin
embargo, si elvalor de x se calculó en un paso previo con un pequeño error del
10% más ( x * = 1.01 ); determina el error de propagación ∈ f y compara los
resultados de f (1) vs. f (1.01) para después calcular los errores relativo y
absoluto.
Solución
f ( x) = e −5 x

f (1.0) = 6.737946999 × 10 −3

f (1.01) = 6.409333446 × 10 −3

∈ f = 6.409333446 × 10 −3 − 6.737946999 × 10 −3
= −3.286135528 × 10 −36.737946999 × 10 −3
= 1.051271096
6.409333446 × 10 −3
E a = 6.737946999 × 10 −3 − 6.409333446 × 10 −3 = 0.3317 × 10 −3
Ea =

Er =
Er

NGJ/v06

6.737946999 × 10 −3 − 6.409333446 × 10 −3

6.737946999 × 10 −3
porcentual = 4.88%

Unidad II

= 0.0488

3

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Aproximaciones y errores de redondeo
7. Resuelve el siguiente sistema deecuaciones, usando dos cifras decimales para
guardar los resultados intermedios y finales.
20.56 x + 21.2 y = 2.24
12.5 x + 14.236 y = 1.25
y determina el error cometido. La solución exacta (redondeada a cinco cifras) es
x = 0.174027559448 y y = −0.0650003466 7
Solución

20.56 x + 21.2 y = 2.24
12.5 x + 14.236 y = 1.25
x = 0.19
y = −0.08
para x
Ea =
Er =

0.174027559448
= 0.91
0.19...