Solución y Análisis De Sistemas Multivariables En Espacio De Estados

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA EN CONTROL Y AUTOMATIZACIÓN TEORIA DEL CONTROL III Práctica # 4. Solución y Análisis de Sistemas Multivariables en Espacio de Estados Nombre: Erik Natividad Rodriguez Fecha: 20 de Septiembre de 2011 Objetivo: Realizar la simulación de un sistema multivariable, y encontrara losparámetros requeridos, para que este sea analizado en el espacio de estados.

Información preliminar Los sistemas lineales MIMO pueden representarse al igual que los sistemas SISO en el dominio del tiempo mediante ecuaciones diferenciales en el espacio de estados. En el caso de un sistema MIMO con entrada y salida , su modelo en el espacio de estados se puede definir como: , (1)

Donde es el vector deestados, , , y matrices constantes, y es el vector de estados en el instante .

son

Es importante remarcar que las propiedades de controlabilidad y observabilidad conocidas para sistemas SISO a partir de su representación en el espacio de estados son también válidas en los sistemas Multivariables. Matrices de transferencia Haciendo la transformada de Laplace de (1) y tomando se llega a (2)De aquí se define como matriz de transferencia del sistema a (3)

En adelante se denotara a la función de transferencia entre el j-ésimo componente de y el i-ésimo componente de . De esta forma, puede escribirse en términos de las funciones de transferencia individuales como

(4)

En este punto es conveniente recordar la definición de una matriz de transferencia propia, estrictamente propiae impropia: Se dice que una matriz de transferencia es propia si todos sus elementos son funciones de transferencia propias (grado denominador mayor o igual que grado numerador), y estrictamente propia si todos sus elementos son estrictamente propios (grado denominador mayor que numerador).Si ninguna de las dos definiciones anteriores se cumple se dice que el sistema es impropio. Realimentaciónde Estados y Observadores La teoría de control lineal involucra la modificación del comportamiento de un sistema de m entradas, p salidas y n estados [ecuación (1)], la cual se llama planta o ecuación de estados en lazo abierto, mediante la aplicación de una realimentación lineal de estados de la forma (5) Donde es el nuevo nombre para la señal de entrada. La matriz de entrada K es la ganancia derealimentación de estados y N la ganancia de precompensación. La substitución de (5) en (1) de la ecuación de estados en lazo cerrado (6)

Es obvio que el sistema a lazo cerrado también es lineal y estacionario. La figura (1) representa el esquema de control por realimentación de estados para un sistema SISO. El control es estático, pues u depende sólo de valores presentes de los estados x yla referencia r. Cuando los estados del sistema no pueden medirse, se recurre a estimarlos mediante un observador de estados, se reconstruye x a partir de mediciones de y y u. La combinación de

un observador y realimentación de estados es un controlador dinámico por realimentación de salida, esquematizado en la figura 1.

Figura 1. Realimentación de estados Partiendo de la figura 1, sesupone que N=1, para efectos de simplificación. Una propiedad de los sistemas lineales esencial en la realimentación de estados es la controlabilidad. La controlabilidad de un sistema es invariante con respecto a realimentación de estados. Invariancia de la Controlabilidad respecto a realimentación. El par cualquier vector , es controlable si y sólo si el par es controlable. Demostración. La matriz decontrolabilidad del sistema a lazo abierto (1) es (7) Y la matriz de controlabilidad del sistema a lazo cerrado (6) es (8) Entonces y están relacionadas de la forma , para

(9)

Nótese que como es y es , todas las entradas de la matriz que multiplican a son escalares. Como esta matriz es no singular, el rango de es igual al rango de . Así la ecuación (7) es controlable si y solo si (8) es...