Soluci n Num rica de Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

Solución Numérica de Sistemas de Ecuaciones Diferenciales
Por Eduardo Alejandro Ramírez López No. de Control:12051488
Una ecuación diferencial lineal de la forma

se puede utilizar como modelomatemático de una gran variedad de fenomenos, ya sean físicos o no físicos, y en disciplinas científica y no científicas.
Runge Kutta
Los métodos de Runge Kutta utilizan indirectamente el algoritmode Taylor. En general, estos métodos evalúan f(x,y) en mas de un punto en la proximidad (xn, yn) en lugar de evaluar derivadas de f(x,y) , las cuales se necesitarían para el uso directo del algoritmopor series de Taylor.
La derivación de estos métodos se acompaña de la suposición de un algoritmo particular con ciertos coeficientes indeterminados. Los valores de estos términos constantes seencuentran igualando la fórmula de Runge Kutta de orden p al algoritmo de Taylor de orden p.
Runge Kutta 2do orden
Asumiendo:

la cual es equivalente al algoritmo cuadrático de Taylor:



Igualamos las dosecuaciones anteriores para resolver:

y expandiendo el segundo término del lado izquierdo en la ecuación anterior en una expansión lineal de Taylor, obtenemos:

y la sustituimos en la anterior paraobtener:

donde el nuevo lado derecho se obtiene de reemplazar f´ por fx + ffy y así obtenemos tres ecuaciones:

Dado que se tiene 4 parámetros por determinar y solo 3 ecuaciones, se tiene una familiade soluciones en términos de uno de ellos (k1, k2, α y β). Si hacemos k2 ≠ 0 como parámetro independiente, se obtiene la siguiente solución:

y sustituyendo en la siguiente ecuación obtenemos:Ejemplo:


Runge Kutta 4to orden
Este método trata de resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales. La fórmula utilizada por este método se utiliza para calcular la nueva aproximación yn+1

Estemétodo se basa en una expansión de Taylor truncada hasta términos de cuarto orden. En algunas ocasiones es llamado el método de Kutta-Simpson porque se reduce a la regla de simpson si y´(x) es...