Solución Tarea 6

SOLUCIÓN TAREA 6



1. Considera al campo de fuerzas F  5i  9 j
a) Calcula el trabajo desarrollado por el campo desde el punto (1,2) hasta el punto (5,2) a lo
largo de la recta
.





 



Solución: W  F  D  5i  9 j  (4i )  20 ( Joules )
b) Calcula el trabajo desarrollado por el campo desde el punto (5,2) hasta el punto (5,7) a lo
largo de la recta
.





 



Solución: W F  D  5i  9 j  (5 j )  45 ( Joules )
c) Calcula el trabajo desarrollado por el campo desde el punto (1,2) hasta el punto (5,7)
siguiendo la trayectoria horizontal que va de (1,2) a (5,2) y luego la trayectoria vertical que
va de (5,2) a (5,7).
Solución: W  W1  W2  20  45  65 ( Joules ) donde W1 es el trabajo para ir del punto (1,2) al
(5,2) y W2 es el trabajo para ir del punto (5,2) a(5,7); estos trabajos son los calculados en los
dos incisos anteriores.
d) Calcula el trabajo desarrollado por el campo desde el punto (1,2) hasta el punto (5,7)
siguiendo la trayectoria en línea recta que une a los puntos.



Solución: En este caso el vector desplazamiento es D  4i  5 j , haciendo el producto punto
 




con el vector fuerza tenemos que W  F  D  5i  9 j  (4i  5j )  65 ( Joules )





--------------


2. Considera al campo de fuerzas F  5i  3 j

a) Calcula el trabajo desarrollado por el campo desde el punto (1,9) al punto (9,1)
 




Solución: W  F  D  5i  3 j  8i  8 j  16 (Joules)



 



b) Obtén la forma general de su función potencial
Solución:  ( x, y )  5x  3 y  c
c) Usa la función potencial para obtener el trabajo delinciso a)
Solución: W   ( Punto final )   ( Punto inicial )   (9,1)   (1, 9)  48  32  16
d) Obtén la función potencial
Solución:  ( x, y )  5x  3 y  15

que cumple con la condición  (1,2)  4

3. Obtén el vector gradiente de cada función de dos variables
a)
b)
c)
d)
Solución:
a)



f ( x, y )  8i  6 j

b)



f ( x, y )  8x  3i  14 y  6 j



2x
2y
i 2
j
2
2
x y 4
x  y 4

c) f ( x, y ) 

2



 



d) f ( x, y )  e 4 y  2 yxe  x i  4 xe 4 y  e  x j
2

2

--------------4. Si

es la función de temperatura en los puntos de una placa donde se ha instalado un

sistema de coordenadas

, el diferencial de temperatura

se define por la fórmula

en un punto

de la placa

.

a) Expresa con tus palabras el significado físico del diferencial detemperatura
Solución: Es el cambio infinitamente pequeño de temperatura entre dos puntos de la placa
infinitamente próximos.
b) Desarrolla la fórmula del diferencial de Temperatura

en el caso en que

y simplifica el resultado eliminado los diferenciales de orden dos.
Solución:
T ( x  dx, y  dy )  4( x  dx) 2  3( x  dx)( y  dy )  2( y  dy ) 2
 4 x 2  8 xdx  4dx   3xy  3xdy  3 ydx 3dxdy  2 y 2  4 ydy  2dy 
2

T ( x, y )  4 x 2  3xy  2 y 2

2



dT  T ( x  dx, y  dy )  T ( x, y )  8 xdx  4dx   3xdy  3 ydx  3dxdy  4 ydy  2dy 
2

Eliminando los diferenciales de orden dos y agrupando el resto, se tiene que

dT  8x  3 y dx  3x  4 y dy observa entonces que

2

c) Tal y como se estableció en este tema, el diferencial de temperatura está dado demanera
general por la fórmula

. Obtén el diferencial de temperatura

para cada una de las siguientes funciones:
i)
ii)
iii)
iv)
Solución:
ii) dT  8x  3dx  14 y  6dy

i) dT  8dx  6dy
iii) dT 

2x
2y
dx  2
dy
2
x  y 4
x  y2  4
2



 



iv) dT  e4 y  2 xye  x dx  4 xe 4 y  e  x dy
2

2

--------------5. PLANOS TANGENTES
Obtén la ecuación del plano tangente a la superficieindicada en el punto dado; haz un esbozo
de la grafica de la superficie y el plano tangente.
e)
; P(3,5,3)
a) z  9  x 2  y 2 ; P(2,1)
b) z  9  x 2  y 2 ;
c) z  x 2  y ;
d)

f) z  yx 2 ; P(2,1)

P(0, 0)

g) x 2  z 2  y 2  5 ; P(0,2,3)

P(0, 3)
; P(1,2,2)

Comentario: En general la ecuación del plano tangente puede escribirse de dos formas
distintas que por supuesto son ecuaciones...